|
3希尔伯特空间中的规范正交系 仿照欧氏空间中正交坐标系的概念，我们在内积空间中引入正交系的概念. 定义1设 M M M 是 内积空间 X X X 的 一个不含零的子集，若 M M M 中向量两两正交，则称 M M M 为 X X X 中 的正交系，又若 M M M 中 向量的范数都为1，则称 M M M 为 X X X 中规范正交系 例1 R ∗ \mathbf { R } ^ { * } R∗ 为 n n n 维欧氏空间，则向量集 e k = ( δ k 1 , δ k 2 , ⋯ , δ k n ) , k = 1 , 2 , ⋯ , n e _ { k } = \left( \delta _ { k 1 } , \delta _ { k 2 } , \cdots , \delta _ { k n } \right) , k = 1 , 2 , \cdots , n ek=(δk1,δk2,⋯,δkn),k=1,2,⋯,n 为 R n \mathbf { R } ^ { n } Rn 中规范正交系，其中 δ k j \delta _ { k j } δkj 当 k = j k = j k=j 时 δ k j = 1 ; k ≠ j \delta _ { k j } = 1 ; k \neq j δkj=1;k=j 时 δ k j = 0. \delta _ { k j } = 0 . δkj=0. 例2在空间 L 2 [ 0 , 2 π ] L ^ { 2 } [ 0 , 2 \pi ] L2[0,2π] 中，定义内积为 ⟨ f , g ⟩ = 1 π ∫ 0 2 π f ( x ) g ( x ) d x , f , g ∈ L 2 [ 0 , 2 π ] , \langle f , g \rangle = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x , \quad f , g \in L ^ { 2 } [ 0 , 2 \pi ] , ⟨f,g⟩=π1∫02πf(x)g(x)dx,f,g∈L2[0,2π], 则三角函数系 1 2 , cos x , sin x , ⋯ , cos n x , sin n x , ⋯ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \cos x , \sin x , \cdots , \cos n x , \sin n x , \cdots 2
1,cosx,sinx,⋯,cosnx,sinnx,⋯ 为 L 2 [ 0 , 2 π ] L ^ { 2 } [ 0 , 2 \pi ] L2[0,2π] 中规范正交系.所以内积 空间中规范正交系是正交函数系概念的推广 正交系有以下基本性质. 1 ∘ 1 ^ { \circ } 1∘ 对正交系 M M M 中任意有限个向量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } , x1,x2,⋯,xn, 有 ∥ x 1 + x 2 + ⋯ + x n ∥ 2 = ∥ x 1 ∥ 2 + ∥ x 2 ∥ 2 + ⋯ + ∥ x n ∥ 2 . \left\| x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \right\| ^ { 2 } = \left\| x _ { 1 } \right\| ^ { 2 } + \left\| x _ { 2 } \right\| ^ { 2 } + \cdots + \left\| x _ { n } \right\| ^ { 2 } . ∥x1+x2+⋯+xn∥2=∥x1∥2+∥x2∥2+⋯+∥xn∥2. (1) 事实上，由于 M M M 中向量两两正交，所以 ∥ ∑ i = 1 n x i ∥ 2 = ⟨ ∑ i = 1 n x i , ∑ i = 1 n x i ⟩ = ∑ i , j = 1 n ⟨ x i , x i ⟩ = ∑ i = 1 n ⟨ x i , x i ⟩ = ∑ i = 1 n ∥ x i ∥ 2 . \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \right\| ^ { 2 } = \left\langle \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } , \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \right\rangle = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \left\langle x _ { i } , x _ { i } \right\rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\langle x _ { i } , x _ { i } \right\rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\| x _ { i } \right\| ^ { 2 } . ∥∑i=1nxi∥2=⟨∑i=1nxi,∑i=1nxi⟩=∑i,j=1n⟨xi,xi⟩=∑i=1n⟨xi,xi⟩=∑i=1n∥xi∥2. 2 ∘ 2 ^ { \circ } 2∘ 正交系 M M M 是 X X X 中线性无关子集.事实上，设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n ∈ M , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } \in M , x1,x2,⋯,xn∈M, 而且 ∑ i = 1 n α i x i = 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } x _ { i } = 0 , ∑i=1nαixi=0, 其中 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { n } α1,α2,⋯,αn 为 n n n 个数，则对任何 1 ⩽ j ⩽ n , 1 \leqslant j \leqslant n , 1⩽j⩽n, 有 0 = ⟨ ∑ i = 1 n α i x i , x j ⟩ = α j ⟨ x j , x j ⟩ = α j ∥ x j ∥ 2 . 0 = \left\langle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } x _ { i } , x _ { j } \right\rangle = \alpha _ { j } \left\langle x _ { j } , x _ { j } \right\rangle = \alpha _ { j } \left\| x _ { j } \right\| ^ { 2 } . 0=⟨∑i=1nαixi,xj⟩=αj⟨xj,xj⟩=αj∥xj∥2. (2) 由于 x j ≠ 0 , x _ { j } \neq 0 , xj=0, 因此 α j = 0 , \alpha _ { j } = 0 , αj=0, 所以 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n } x1,x2,⋯,xn 线性无关.这就证明了 M M M 是 X X X 中 线性无 关子集。 我们在内积空间中引入规范正交系的目的是要把空间中的向量关于规范正交系 展开成级数，为此，首先介绍一般赋范线性空间中级数收敛的概念. 定义2设 X X X 是赋范线性空间， x i , i = 1 , 2 , ⋯ x _ { i } , i = 1 , 2 , \cdots xi,i=1,2,⋯ 是 X X X 中一列向量， α 1 , α 2 , ⋯ \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots α1,α2,⋯ 是一列数， 作形式级数 ∑ i = 1 ∞ α i x i , \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } x _ { i } , ∑i=1∞αixi, (3) 称 S n = ∑ i = 1 n α i x i S _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } x _ { i } Sn=∑i=1nαixi 为 级数(3)的 n n n 项部分和，若存在 x ∈ X , x \in X , x∈X, 使 S n → x ( n → ∞ ) , S _ { n } \rightarrow x ( n \rightarrow \infty ) , Sn→x(n→∞), 则称级数 (3)收敛，并称 x x x 为这个级数的和，记为 x = ∑ i = 1 ∞ α i x i . x = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } x _ { i } . x=∑i=1∞αixi. 若 M M M 为 X X X 中规范正交系， e 1 , e 2 , ⋯ e _ { 1 } , e _ { 2 } , \cdots e1,e2,⋯ 是 M M M 中有限或可列个向量，且 x = ∑ i = 1 ∞ α i e i , x = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } e _ { i } , x=∑i=1∞αiei, 则对 每个正整数 j , j , j, 由内积连续性，可以得到 ⟨ x , e j ⟩ = ⟨ ∑ i = 1 ∞ α i e i , e j ⟩ = ∑ i = 1 ∞ α i ( e i , e j ⟩ = α j , \left\langle x , e _ { j } \right\rangle = \left\langle \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } e _ { i } , e _ { j } \right\rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } \left( e _ { i } , e _ { j } \right\rangle = \alpha _ { j } , ⟨x,ej⟩=⟨∑i=1∞αiei,ej⟩=∑i=1∞αi(ei,ej⟩=αj, 所以 x = ∑ j = 1 ∞ ⟨ x , e j ⟩ e f . x = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left\langle x , e _ { j } \right\rangle e _ { f } . x=∑j=1∞⟨x,ej⟩ef. 定义3设 M M M 为内积空间 X X X 中的规范正交系 x ∈ X , x \in X , x∈X, 称数集 { ⟨ x , e ⟩ : e ∈ M } \{ \langle x , e \rangle : e \in M \} {⟨x,e⟩:e∈M} 为向量 x x x 关于规范正交系 M M M 的傅里叶系数集，而称 ⟨ x , e ⟩ \langle x , e \rangle ⟨x,e⟩ 为 x x x 关于 e e e 的傅里叶系数 例3设 X = L 2 [ 0 , 2 π ] , M X = L ^ { 2 } [ 0 , 2 \pi ] , M X=L2[0,2π],M 为例2中三角函数系，记 e 0 ( x ) = 1 2 , e 1 ( x ) = cos x , e 2 ( x ) e _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , e _ { 1 } ( x ) = \cos x , e _ { 2 } ( x ) e0(x
|