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背景：设已知随机变量X的分布，需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是g(X)的期望，该如何计算呢？

因为 g ( X ) g(X) g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来，一旦知道了 g ( X ) g(X) g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]计算出来，但是这种方法一般比较复杂。

引入 E ( X ) E(X) E(X)的推理，可得如下的基本公式：

设X是一个随机变量， Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X),则 E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = { ∑ k = 1 ∞ g ( x k ) p k , X 为 离 散 型 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x , X 为 连 续 型 E(Y)=E[g(X)]= \begin{cases} \sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k,\quad X为离散型 \\ \int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx,\quad X为连续型 \end{cases} E(Y)=E[g(X)]={∑k=1∞​g(xk​)pk​,X为离散型∫−∞∞​g(x)f(x)dx,X为连续型​ 当X为离散型时， P ( X = x k ) = p k P(X=x_k)=p_k P(X=xk​)=pk​

当X为连续型时，X的密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)

因此，求 E [ g ( X ) ] E[g(X)] E[g(X)]时，就不必知道 g ( X ) g(X) g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以计算 g ( X ) g(X) g(X)的数学期望

将 g ( X ) g(X) g(X)特殊化，可得到各种数字特征：

其中k是正整数。