概率论基础

在前面的文章里，已经带大伙了解了概率论的概率事件类型，以及针对某些事件的发生概率，以及针对全部场景的某事件的发生概率等基本知识。不过对于统计学专业来说，或者实际应用来说，接触最多的还是离散型和连续型概率，以及分析其概率密度与分布函数。所以说这里的内容可以算是概率论真正的支撑核心和基石。 无论你做数据分析，还是说人工智能方向，这是你应该打好的基础中的基础。

在研究生阶段，或者说在实际的工作阶段，经常可以看到关于连续和离散的讨论。我这里不想过多的讨论这个问题，只是简单的说一下，离散型，就相对于散数列，而连续型本质上是运动变化的连续描述。所以把数学上经常见到的两种不同类型的数据做到一张图表上，就是下面这个样子。

这是一张连续信号和离散信号的表达方式。对于概率来说，由于不存在 < 0 < 0 X=0}=C62​C40​C22​​=151​ P { X = 1 } = C 4 1 C 2 1 C 6 2 = 8 15 P \left \{ X = 1 \right \} = \frac{C_4^1 C_2^1}{C_6^2} = \frac{8}{15} P{X=1}=C62​C41​C21​​=158​ P { X = 2 } = C 4 2 C 2 0 C 6 2 = 6 15 P \left \{ X = 2 \right \} = \frac{C_4^2 C_2^0}{C_6^2} = \frac{6}{15} P{X=2}=C62​C42​C20​​=156​

然后绘制样本概率表

解（2） 根据上题中的样本概率表，我们可以得出概率累加函数（或者说分布函数）

即：

F ( X ) = { 0 x < 0 1 / 15 0 ≤ x < 1 9 / 15 1 ≤ x < 2 1 2 ≤ x F(X) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 1/15 & 0 \leq x < 1 \\ 9/15 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & 2 \leq x \end{matrix}\right. F(X)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​01/159/151​xX>=0.5} (3). 分布函数F(X)

解（1）

从概率密度函数的定义出发，我们有：

∫ f ( x ) d x = 1 → ∫ e l s e f ( x ) d x + ∫ 0 1 ( a + x 2 ) d x = 1 \int f(x) dx = 1 \rightarrow \int_{else} f(x) dx + \int_0^1 (a+ x^2) dx = 1 ∫f(x)dx=1→∫else​f(x)dx+∫01​(a+x2)dx=1

根据密度函数f(x)给出的条件，可以知道上式可以简化为：

∫ 0 1 ( a + x 2 ) d x = 1 \int_0^1 (a+ x^2) dx = 1 ∫01​(a+x2)dx=1

然后根据导积分的运算规则，获得原函数为：

∫ 0 1 ( a + x 2 ) d x = ( a x + 1 3 x 3 ) ∣ 0 1 = 1 \int_0^1 (a+ x^2) dx = \left. (ax + \frac{1}{3} x^3) \right |_0^1 = 1 ∫01​(a+x2)dx=(ax+31​x3)∣∣∣∣​01​=1

代入上限和下限后，可以得到

a + 1 3 = 1 → a = 2 3 a+ \frac{1}{3} = 1 \rightarrow a = \frac{2}{3} a+31​=1→a=32​

解（2） 由于上面已经得到了 a=2/3，所以可以得到概率密度函数为：

f ( x ) = { 2 3 + x 2 0 ≤ x < 1 0 e l s e f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{2}{3} + x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 0 & else \end{matrix}\right. f(x)={32​+x20​0≤x = 0.5 } P \left \{ X >= 0.5 \right \} P{X>=0.5} 即求解对于连续型概率，样本大于等于0.5后出现的事件概率，即对概率密度函数求积的过程。于是有：

P { X > = 0.5 } = ∫ 0.5 + ∞ f ( x ) d x = ∫ 0.5 1 f ( x ) d x + ∫ 1 ∞ f ( x ) d x P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0.5}^{1} f(x) dx + \int_1^{\infty} f(x) dx P{X>=0.5}=∫0.5+∞​f(x)dx=∫0.51​f(x)dx+∫1∞​f(x)dx

根据题干给出的条件，可以知道 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = 0 \int_1^{\infty} f(x) dx = 0 ∫1∞​f(x)dx=0，所以问题简化为：

P { X > = 0.5 } = ∫ 0.5 1 f ( x ) d x = ∫ 0.5 1 [ 2 3 + x 2 ] d x P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \int_{0.5}^{1} f(x) dx =\int_{0.5}^{1} [\frac{2}{3} + x^2]dx P{X>=0.5}=∫0.51​f(x)dx=∫0.51​[32​+x2]dx

然后根据导积分的运算规则，获得：

P { X > = 0.5 } = ( 2 3 x + 1 3 x 3 ) ∣ 0.5 1 = 5 8 P \left \{ X >= 0.5 \right \} = \left. (\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3) \right |_{0.5}^{1} = \frac{5}{8} P{X>=0.5}=(32​x+31​x3)∣∣∣∣​0.51​=85​

解（3）

我们根据以上各题，可以轻易的得到分布函数F(X)为

F ( X ) = { 0 x < 0 2 3 x + 1 3 x 3 0 ≤ x < 1 1 1 ≤ x F(X) = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} x^3 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \end{matrix}\right. F(X)=⎩⎨⎧​032​x+31​x31​x16x2​0​0(2Y−8​)2/160​8