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最小多项式
根据
Hamilton-Cayley
\text{Hamilton-Cayley}
Hamilton-Cayley定理，对于数域
F
\mathbb F
F上任意矩阵
A
\bm A
A，总存在数域
F
\mathbb F
F上的一个多项式
f
f
f使得
f
(
A
)
=
O
f(\bm A) = \bm O
f(A)=O.如果多项式
f
(
x
)
f(x)
f(x)使得
f
(
A
)
=
O
f(\bm A) = \bm O
f(A)=O,我们就称
f
(
x
)
f(x)
f(x)以
A
\bm A
A为根.
f
(
x
)
f(x)
f(x)被称为零化多项式.其中次数最低的首一多项式称为
A
\bm A
A的最小多项式. 我们容易证明以下的定理: 引理1 矩阵
A
\bm A
A的最小多项式是唯一的. 引理2 如果
f
,
g
f, g
f,g是
A
\bm A
A的零化多项式,那么
(
f
,
g
)
(f, g)
(f,g)也是零化多项式. 引理3 如果
g
(
x
)
g(x)
g(x)是
A
\bm A
A的最小多项式那么
f
(
x
)
f(x)
f(x)是零化多项式的充分必要条件是
g
(
x
)
∣
f
(
x
)
g(x) | f(x)
g(x)∣f(x). 引理4 如果
A
=
(
A
1
O
O
A
2
)
\bm A = \begin{pmatrix}\bm A_1 & \bm O \\ \bm O & \bm A_2 \end{pmatrix}
A=(A1OOA2)并且
g
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
g_1(x), g_2(x)
g1(x),g2(x)分别是
A
1
,
A
2
\bm A_1, \bm A_2
A1,A2的最小多项式,那么
A
\bm A
A的最小多项式是
[
g
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
]
[g_1(x), g_2(x)]
[g1(x),g2(x)].同样可推广到一般的准对角矩阵的情形. 引理5
k
k
k级若尔当块
J
(
λ
,
k
)
\bm J(\lambda, k)
J(λ,k)的最小多项式为
(
x
−
λ
)
k
(x - \lambda)^k
(x−λ)k. 由上面的引理我们可以证明如下的定理: 定理14 数域
F
\mathbb F
F上的
n
n
n级矩阵
A
\bm A
A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A
\bm A
A的最小多项式是
F
\mathbb F
F上互素的一次因式的乘积. 定理的必要性是显然的.我们不妨设
A
=
diag
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
\bm A = \text {diag}\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}
A=diag{a1,a2,⋯,an},假定其中
a
1
,
⋯
,
a
r
a_1, \cdots, a_r
a1,⋯,ar为互异的数,那么由引理
4
4
4,矩阵的最小多项式正是
n
n
n个
1
×
1
1\times 1
1×1的矩阵的最小公倍式,亦即
∏
i
=
1
r
(
x
−
a
i
)
\prod_{i = 1}^r (x - a_i)
∏i=1r(x−ai).显然是互素的一次因式的乘积. 下面我们来证明定理的充分性.如果数域
F
\mathbb F
F上的
n
n
n级矩阵
A
\bm A
A的最小多项式是
F
\mathbb F
F上互素的一次因式的乘积,不妨假定
f
(
x
)
=
∏
i
=
1
s
(
x
−
λ
i
)
f(x) = \prod_{i = 1}^s (x - \lambda_i)
f(x)=i=1∏s(x−λi)是
A
\bm A
A的最小多项式,亦即
f
(
A
)
=
∏
i
=
1
s
(
A
−
λ
i
E
)
=
O
f(\bm A) = \prod_{i = 1}^s (\bm A - \lambda_i \bm E) = \bm O
f(A)=i=1∏s(A−λiE)=O那么不难看出
F
n
=
Ker
(
f
(
A
)
)
=
V
1
⊕
V
2
⊕
⋯
⊕
V
s
\mathbb F^n = \text{Ker}(f(\mathscr A)) = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s
Fn=Ker(f(A))=V1⊕V2⊕⋯⊕Vs其中
V
i
=
Ker
(
A
−
λ
i
E
)
V_i = \text{Ker}(\mathscr A - \lambda_i \mathscr E)
Vi=Ker(A−λiE).也就是说,全空间可分成
s
s
s个不变子空间的直和.只需要取每个子空间的一组基,合起来就是全空间的一组基,并且每一个都是特征向量.从而证明了: 数域
F
\mathbb F
F上的
n
n
n级矩阵
A
\bm A
A与对角矩阵相似的充分必要条件是
A
\bm A
A的最小多项式是
F
\mathbb F
F上互素的一次因式的乘积. 我们知道,
C
\mathbb C
C上的矩阵的最小多项式总是可以分解为一次因式的乘积.由上述定理,我们可以得到如下推论:
C
\mathbb C
C上的矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根.
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