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第 5 节 连续型随机变量及其概率密度 一．数学概念与定义 随机变量的函数的定义 设是一个实变量函数，和是两个随机变量。如果当随机变量取时，随机变量取，，则称随机变量是随机变量的函数。记作。 二．理公式和法则（1）离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量的分布律为 … … P … … 是的函数，则也是一个离散型随机变量，的分布律为 … … P 若当中有相等的，则它们是可能取的同一个值，此时只须列出一个，同时把对应的概率相加作为取这个值的概率。 （2）连续型随机变量的函数分布 求连续型随机变量的函数的分布有两种方法： 方法一：假设函数处处可导，并且（或）。若连续型随机变量的概率密度为，则是一个连续型随机变量，其概率密度为 其中是的反函数。而。 注意：若在不相重叠的区间上逐段单调，则可用上述公式逐段求概率密度，然后相加。 方法二：设随机变量的概率密度为，随机变量，函数在不相重叠的区间上是逐段单调的，若求的概率密度，可先求的分布函数。据分布函数的定义 把代入上式右端，得 若当且仅当随机变量取值为集合时，，则事件与事件相等，于是 从而的分布函数为 据分布函数与概率密度函数之间的关系，得的概率密度为 。 三. 重点、难点分析 随机变量函数的分布是本章的难点，我们可把随机变量X一般可分成离散型和连续型两类。 （1）设X是离散型随机变量，其概率分布表是 … … … … 也是一个离散型随机变量，，如果诸值互不相等，则的概率分布为： Y … … Y … … … 当，，…，，…不是互不相等的，应把那些相等的值分别合并，并根据概率的加法公式把相应的相加，来得到概率分布。 （2）连续型随机变量X的函数 连续型随机变量的函数的分布是本章最复杂内容，对公式，我们很容易忽略绝对值符号。 使用方法二求函数的分布的关键是寻找与事件相等的事件。也就是确定当取值落在那个区间上时，。 四. 典型例题 例1: 设随机变量服从参数为的指数分布，求的概率密度。 解: 由已知的概率密度为 先求的分布函数。因为，事件与相等，于是的分布函数 上式中把的分布函数用的分布函数表示出来了。 将上式两端对求导数，得 上式中又把的概率密度用的概率密度表示出来了。而的概率密度是已知的。 当时，即时， 当时，即时， 于是得的概率密度为 例2: 设随机变量在上服从均匀分布，（1）求的概率密度；（2）求的概率密度。 解: 由已知的概率密度为 （1）当时，的分布函数 将上式两端对求导，得 因为当时，，所以的概率密度为 （2）的分布函数 将上式两端对求导，得 因为当时，，所以的概率密度为 |
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