【现控理论】（一、系统的传递函数矩阵）

1.传递函数与传递矩阵

对于单输入单输出的线性定常系统的状态空间表达式为：

零初始条件下进行laplace变换：

经整理得：

代入（1）中：

2.传递函数（矩阵）与状态空间描述对比：

（1）传递函数（矩阵）是在初始条件为零的前提下输入输出间的关系描述，初始条件非零系统不能应用这种描述；状态空间表达式既可以描述初始条件为零的系统也可以描述初始条件为非零的系统。

（2）传递函数（矩阵）仅用于线性定常系统，而状态空间表达式既可以在定常系统中应用也可以在时变系统中应用。

（3）对于数学模型不明确的线性定常系统难以建立状态空间表达式，而传递函数（矩阵）可以通过实验获得。

（4）传递函数仅适用于单输入单输出系统，状态空间表达式可用于多输入多输出系统的描述。

（5）传递函数（矩阵）只能给出系统的输出信息，而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。

以RLC电路为例：

 3.离散系统的状态空间表达式：

因为连续系统状态空间表达式的建立方法完全适用于离散系统，所以离散系统状态空间表达式的矩阵形式为：

简化为：

式中G、H、C、D所具有的形式与连续系统能控型对应相同，此为离散系统的能控 型对应相同。

离散变换例题 ：

离散系统状态空间表达式的结构框图为：

 4.matlab中的应用：

4.1由传递函数得到状态空间表达式

考虑以下传递函数：

对于此传递函数可能具有无穷多个状态空间表达式，但是通过matlab我们可以计算出一种来，在matlab中主要运用以下命令求出A、B、C、D四个矩阵：

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

 4.2由传递函数得到状态空间表达式

主要采用的命令为：

[num,den]=ss2tf[A,B,C,D,iu]

对于多输入的系统，必须具体化iu，比如系统有三个输入u1，u2，u3，那么就必须在后面具体写出来哪三个输入。

一个输入：

 对于以上的方程在matlab中求取传递函数如下：

对于2个输入的状态空间表达式：

上述表达式将存在4个传递函数：

第一个输入： 

传递函数分别为：

第二个输入：

 传递函数分别为：

4.3系统的线性非奇异变换

调用的格式为：

GT=ss2ss(G,T)

G、GT分别为变换前、后系统的状态空间模型，T为线性非奇异变换矩阵。或为：

[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T)

其中(A、B、C、D)、分别为变换前、后系统的状态空间模型的系数针，T为线性非奇异变换阵。

4.4标准型状态空间表达式

其调用格式为：

G1=canon(sys,type)

若LTI系统模型sys为对应状态向量x的状态空间模型，可应用canon（）函数将其变换为在新的状态向量x下的标准型状态空间表达式，其调用格式为：

[G1,P]=canon(A,B,C,D,type)

其中(A,B,C,D)对应x的原系统状态空间模型的系数阵，（At,Bt,Ct,Dt）则为对应新状态向量(仍满足)的标准型状态空间模型的系数阵。