|
做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题，关键也在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案。 数学解题的思维方法很多，如分析法、综合法、变更问题法、试验法、联想法、换元法、数形结合法、构造法、待定系数法等等。其中前三种方法是解题中最常见，使用频率最高的方法，这里就这三种方法联系实际问题，与读者切磋一下它们的使用技巧。 (一)分析法与综合法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。为便于读者熟练地掌握这两种方法，从而获得希望成功的解题思路，现举例说明如下。例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证。从例1容易看出，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件。从例1也不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。从表达过程而论，分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用：先以分析法为主寻求解题思路；再用综合法有条理地表达解题过程。请再看下面的例子。思考方法：先从待证结论出发(用分析法)，结论左边是两个算术根之和，稍作观察便可发现，根号内的代数式都是完全平方式，所以要证明结论成立，只要证明│a-2│+│a-b│=4就可以了。于是，解题的关键在于确定a的取值范围，以去掉绝对
|