点关于直线的距离、垂足、对称点公式 | 您所在的位置:网站首页 › 已知2点坐标怎么求距离 › 点关于直线的距离、垂足、对称点公式 |
下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。 问题描述1:已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。 解决方法: (1)距离: d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B ); 这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。 (2)垂足: 求解两个方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A; 解得,x = ( B*B*x0 - A*B*y0 - A*C ) / ( A*A + B*B ); y = ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C ) / ( A*A + B*B ); (3)对称点: 方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A; 方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点: 首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0; 解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B ); y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B ); 方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B); 则, x' = x0 + k * A; y' = y0 + k * B; 此证明详见资源:http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639
问题描述2:已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。 解决方法: 方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。 方法二: (a)距离: 首先,求出垂足的坐标; 则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0)); (b)垂足: 首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。 则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。 带入坐标,即得, k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) ) / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ; 则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1); (c)对称点: 同问题描述1中的方法。 ========================================================================================================================== |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 |