【通俗理解】显著性检验，T

备注：

源：https://www.cnblogs.com/hdu-zsk/p/6293721.html

显著性检验，判定实验结果是否由随机误差导致的。举例很好，很清楚

虽然样本中，均值苏州销售额大于郑州，但T-test发现这是随机导致的，P>0.05，当样本量足够大可能他们的销售额就没有差异了

假设：两个样本集之间不存在任何区别

结果：在显著性水平α =0.05的情况下，p>0.05接受原假设，p值＜0.05拒绝原假设

方法：F值 = 组间方差与组内方差的比值，查表：F实际值>F查表值，则p杭州分公司销售额，抑或反之），以便对接下来公司的战略业务调整做出规划。下属们知道赵老板的难处，纷纷建议“只需要求平均值就知道哪个分公司的销售额更大了”。但是作为拥有高学历的赵先生懂得这样一件哲学即“我们生活在概率的世界之中”。那也就意味着，平均值并不能够说明什么问题，即便杭州分公司的销售额平均值大于郑州分公司的销售额平均值仍然不能说明杭州分公司的销售额一定就大于郑州分公司的销售额，因为“这样一种看似存在的大于关系实质上是偶然造成的而并不是一种必然”。

     赵先生最终决定，使用方差验检查这两个数据。（请先忽略为什么用方差检验，检验方法的选择下文中会详述）

     最后赵先生发现，方差检验的p 值= 0.2027，那也就意味着，虽然杭州分公司的年平均销售额26.63大于郑州分公司的销售额25.18，但是实质上，两个分公司的销售额并没有明显的差异。（相信此时的你心中有万千草泥马奔过：方差检验是怎么做的？p值是什么鬼？为什么p=0.2027意味着销售额没有明显差异？信息量好大肿么办？）

不要急，不要慌，让我们从头来过，整理一下赵先生这里究竟发生了什么。这里很有必要了解一下根植于赵先生思维里的“慢动作”。

第一点：如上文所述的一样，“无假设，不检验”，赵先生做了什么样的假设（Hypothesis）？

由于赵先生想要知道两个公司的销售额是否有存在明显的差异 ，所以他的假设就是“样本集Z（郑州分公司）和样本集H（杭州分公司）不存在显著性差异，换言之这两个集合没有任何区别（销售额间没有区别）！”这就是赵先生的假设。那么问题来了，为什么赵先生要假设这两个样本集之间不存在任何区别，而不是假设这两个样本集存在区别。因为这个假设（Hypothesis）正是方差检验的原假设（null hypothesis）。那么问题又来了，什么是原假设。所谓原假设是数学界为了方便讨论而默认的“原始的假设”。没有什么为甚么可言，约定俗成罢了。

第二点：p值怎么回事？

这里并不用管p值是怎样得到的，直接给出结论。在显著性水平α =0.05的情况下，p>0.05接受原假设，p值＜0.05拒绝原假设。我们的原假设是样本集Z和样本集H间不存在显著性差异，但是由于p=0.2027＞0.05，所以接受原假设，即样本集Z和样本集H间不存在显著性差异。当然有接受就有拒接，如果这里的p值小于0.05，那么就要拒绝原假设，即集合Z和集合H间存在显著性差异。

第三点：怎么做方差检验以及为何做方差检验之后再细讲，这里暂且不表。

在这一章节的最后，给出本章的两个问题的答案，相信你现在已经可以理解：

1什么是统计假设检验？

所谓统计假设检验就是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设是否合理。而把只限定第一类错误概率的统计假设检验就称之为显著性检验。在上例中，我们的假设就是一种显著性检验。因为方差检验不适用于估计参数和估计总体分布，而是用于检验试验的两个组间是否有差异。而方差检验正是用于检测我们所关心的是这两个集合（两个分布）的均值是否存在差异。

2.为什么要做显著性检验？

因为我们想要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。 在我们的例子中，差异就是H的均值要高于Z的均值，但是最终的结论p>0.05证明，这个差异纯属机会变异（H均值>Z均值是偶然的，当H和Z的采样点数趋于无穷多时，H的均值会趋近等于Z的均值）而不是假设与真实情况不一致。如果p值> strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];

2.设置对应与strength对应位置的标签为alloy：

>> alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st','al1','al1','al1','al1','al1','al1','al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

3.调用anova1函数

>> p = anova1(strength,alloy)

最终得到的结果会是一个数值和两幅图，一个值是p值。p值得看法在上文已经介绍过，这里不再细细的介绍。在本例中，p的值如下

p =

  1.5264e-004

显然，从p值看，三组值之间存在显著性差异。有一点必须提一下：这里p存在显著性差异并不意味着三组之间两两都存在显著性差异，而只是说明显著性差异在这三组之间存在。

第一幅图是一张表，这张表被称之为ANOVA表。相信许多非统计专业的同学见到ANOVA表的一瞬间是崩溃的，一堆问题奔涌而出：

Source是什么鬼？SS是什么鬼，df是什么鬼，MS是什么鬼，F是什么鬼，Prob>F是什么鬼，etc.

这里为了解决“什么鬼”的问题，对这张表给出详细的解释：

Source表示方差来源（谁的方差），这里的方差来源包括Groups（组间），Error（组内），Total（总计）；

SS（Sum of squares）表示平方和

df（Degree of freedom）表示自由度

MS（Mean squares）表示均方差

F表示F值（F统计量），F值等于组间均方和组内均方的比值，它反映的是随机误差作用的大小。

Prob>F表示p值

这里需要引出两个小问题：第一个小问题是F值怎么使用，第二个小问题是p值和F值的关系是什么？

率先普及一下p值和F值之间的关系：

F实际值>F查表值，则pF查表值3.634，所以可以判定显著性差异存在，且p值小于0.05

以上讲述了如何仅仅使用F值判断显著性差异的方法并讲述了F值同p值之间的关系。下面这张表格是箱型图，它的看法如下图所表注：

这里有必要提一下anova1函数中的参数displayopt 的作用。在大规模的anova1调用中（例如把anova1放在for循环中反复调用），需要把displayopt设置为'off'，否则anova1每调用一次就会绘制两幅图，这样会迅速的耗费计算机的内存，容易造成程序崩溃。

除了上文中介绍的第一种调用anova1的方式，还有一种方式用于均衡的方差分析。所谓均衡就是要求不同的组别内的统计数据个数必须相同。在上例中出现的各个组的统计个数分别为{8,6,6}就属于非均衡。在均衡状态下，每个组的数据单独构成X中的一列，这样便可以省略参数Group，调用方式就可以简化为anova1(X)

在上文中，我们提到过。方差分析必须满足两条假设，分别是正态性假定和方差齐性假定。因此，在一个完整的统计工程中，必须首先检测数据的正态性假定和方差齐性假定，这就涉及到另外两个函数lillietest正态检验函数（这正是我们上文提到的分布假设检验而不是参数检验，它检验的目标是数据集服从何种分布）和vartestn方差齐性检验（这正是我们上文提到的参数检验而不是分布假设检验 ，它检测的目标是数据集的分布服从什么样的参数，这里就是方差）

函数二：lillietest(X)

>> [h,p] = lillietest (strength(1:8))

h =

     0

p =

    0.5000

解释：h = 0可以认为数据服从正态分布，h=1则认为不服从正态分布

p >0.05可以认为接受原假设h = 0，则数据服从正态分布

>> [h,p] = lillietest (strength(9:14))

h =

     0

p =

    0.5000

>> [h,p] = lillietest (strength(15:20))

h =

     0

p =

    0.5000

可以得出结论，strength中三组数都服从正态分布

函数三：vartestn(X, Group)

>> p = vartestn(strength,alloy,'off')

p

=0.5142

注意：X和Group必须是列向量，否则会报错

p>0.05则说明X中的不同Group是齐次的，也就是方差性齐。

②双因素一元方差分析的方法和案例：

正如上文所述，既然是双因素，那便是有多个标签了。因此双因素一元方差分析可以理解成“单特征双标签机器学习技术”。由于双因素一元方差分析要求数据是均衡的，所以它的标签可以省略，就如同上文中介绍的anova1的第二种使用方法一样。这里的例子引用于MATLAB的anova2的help文档，用于说明anova2的使用方法。

这里有一批爆米花数据，现在我们知道这些爆米花的质量打分同两个因素相关，一个是爆米花的品牌（有三个品牌：Gourmet，National，Generic）另一个是爆米花的制作工艺（油炸，气压）。这些数据如下所述：

                     brand    Gourmet        National       Generic

methods

     油炸                        5.5000          4.5000         3.5000

     油炸                        5.5000          4.5000         4.0000

     油炸                        6.0000          4.0000         3.0000

     气压                        6.5000          5.0000         4.0000

     气压                        7.0000          5.5000         5.0000

     气压                        7.0000          5.0000         4.5000

现在需要了解的目标有三个，第一：列和列之间是否有显著性差异（品牌间的显著性差异），原假设是显著性差异不存在；第二：行与行之间是否存在显著性差异，原假设是显著性差异不存在 ；第三：品牌和方法之间的交互作用是否明显，原假设是交互作用不明显

为了完成以上三个问题，所以特别引入anova2函数，anova2函数的参数如下：

p = anova2( X, reps, displayopt)

X即为待检验数组。其中，X的每列一代表一种因素，X的每若干行代表另一种因素，这里的若干使用reps指明。displayopt同anova1一样，这里不再详述。anova2的返回是一值一幅图。下面是具体的MATLAB方法：

>> popcorn =[

  5.5000  4.5000  3.5000

  5.5000  4.5000  4.0000

  6.0000  4.0000  3.0000

  6.5000  5.0000  4.0000

  7.0000  5.5000  5.0000

  7.0000  5.0000  4.5000]；

>> [p,table,stats] = anova2(popcorn,3)

p =

    0.0000    0.0001    0.7462

解释：p(1) = 0.0000, 推翻原假设，所以列与列之间的显著性差异存在（品牌间存在显著性差异）；p(2) = 0.0001,推翻原假设，所以行与行之间的显著性差异存在（方法间的显著性差异存在）；p(3) = 0.7462，保留原假设，则品牌和方法间的交互作用不明显。

图表中的Columns代表列，Rows代表行，Interaction代表交互作用，其他的与我们在anova2中讲述的完全相同，这里也不再详细分析。

③多因素一元方差分析的方法和案例：

p = anovan(X, Group, Opt);

其中，X代表着待检验数据；Group代表着X的因素，由于是多因素，所以Group是多个列组成的。Opt可以选择为'model'，model后面可以填写'full'和'interaction'。

比如因素有三个x，y，z，那么如果model为interaction，计算结果会包括x的显著性，y的显著性，z的显著性，xy，xz，yz的交互影响显著性

如果model为full，计算结果会包括x的显著性，y的显著性，z的显著性，xy，xz，yz的交互影响显著性以及xyz的交互显著性。

这里的例子仍然来自于MATLAB的help文档，y是待检验的数据，g1,g2,g3是与y中数据一一对应的3个因素（数据标签）

y = [52.7 57.5 45.9 44.5 53.0 57.0 45.9 44.0]';

g1 = [1 2 1 2 1 2 1 2];

g2 = {'hi';'hi';'lo';'lo';'hi';'hi';'lo';'lo'};

g3 = {'may';'may';'may';'may';'june';'june';'june';'june'};

>> p = anovan(y,{g1 g2 g3},'model','interaction')

p =

    0.0347

    0.0048

    0.2578

    0.0158

    0.1444

    0.5000

这里有一个使用的小窍门，如果你想做非平衡双因素一元方差分析那么也可以采用多因素一元方差分析函数。

④单因素多元方差分析的方法和案例：

[d, p] = manova1(X, Group);

p，X和Group与之前相同。该方差分析的原假设是“各组的组均值是相同的多元向量”这里对d做出解释：

d=0，接受原假设

d=1，拒绝原假设，认为各组的组均值不完全相同，但是不能拒绝它们共线的假设。

d=2，拒绝原假设，各组的组均值向量可能共面，但是不共线。

四种商品（x1,x2,x3,x4）按照不同的两种销售方式进行销售，数据如下：

编号   x1     x2     x3     x4     销售方式

1      125    60     338     210     1

2     119     80     233     330     1

3       63     51     260     203     1

4       65     51     429     150     1

5     130     65     403     205     1

6       65     33     480     260     1

7     100     34     468     295     2

8       65     63     416     265     2

9     110     69     377     260     2

10     88     78     299     360     2

11     73     63     390     320     2

12   103     54     416     310     2

13     64     51     507     320     2

>> X =

   125    60   338   210

   119    80   233   330

    63    51   260   203

    65    51   429   150

   130    65   403   205

    65    33   480   260

   100    34   468   295

    65    63   416   265

   110    69   377   260

    88    78   299   360

    73    63   390   320

   103    54   416   310

    64    51   507   320

>> Groups =

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     2

     2

     2

     2

     2

     2

     2

>> [d, p] = manova1(X, Groups);

d =

     0

p =

    0.0695

因此，拒绝原假设，各组的组均值不是相同的多元向量。

非参数检验：

到这类，参数检验部分就算是说完了。我们可以回顾一下，参数检验的四种函数分为anova1，anova2，anovan，manova1。他们都基于共同的两个假设：正态性假定和方差齐性假定 ，分别对应着函数lillietest 和vartestn。但是，我们在实际工作中，不可能总是遇到满足这两个假定的统计数据，这时候，如果强行采用参数检验就会造成错误。此时，可以采用基于秩和的非参数检验。这里我们介绍两种非参数检验：Kruskal-Wallis检验，Friedman检验。通过参数检验的部分介绍，想必读者已经对显著性检验入门，有些细节这里不再详细介绍，留作有兴趣读者自行查询。这里对分参数检验只做必要介绍。

①Kruskal-Wallis检验

Kruskal-Wallis检验又被称之为单因素非参数方差分析，是非参数版的anova1。该检验的原假设是：k个独立样本来自于相同的正态总体。其MATLAB函数如下：

p = kruskalwallis(X,Group)

X,Group,p和参数检验里的完全相同。不再详细介绍。

②Friedman检验

Friedman检验又被称之为双因素秩方差分析，是非参数版的anova2。同anova2一样，待检验的数据也必须是均衡的。但是需要特别注意的是，Friedman检验和anova2检验不完全相同，anova2同时注意两个因素对待检验数据的影响，但是，Friedman检验只注重2个因素中的其中一个对待检验数据的影响，而另一个因素则是用来区分区组用的。

如上图所示矩阵X，Friedman检验只关注X的各个列（因素A）水平之间有无显著差异，他对各行之间（因素B，也被称之为区组因素）完全不感兴趣。因此，Friedman检验的原假设是k个独立样本（X的各列）来自于相同的正态总体。至于为何Friedman检验对因素B不感兴趣，这里通过一个例子说明。该例子来源于《MATLAB统计分析与应用40个案例分析》

有4名美食评委1234对来自于四个地区ABCD的名厨的名菜水煮鱼做出评价打分，数据如下：

               地区       A       B       C      D

美食评委 

     1                    85     82     82     79

     2                    87     75     86     82

     3                    90     81     80     76

     4                    80     75     81     75

现在我们想知道，这四个地方的水煮鱼品质是否相同。

数据分析：我们的目标是四个地方水煮鱼的品质是否相同。那么同一个评委对四个地区厨师的打分就具有可参考性，而不同地区评委之间对同一个厨师的打分参考性几乎没有（受评委自己的主观意识影响太强）。因此，我们认为四个地区是因素A，而评委是因素B（区组因素），不同区组之间的数据没有可比较性。

>> X =

    85    82    82    79

    87    75    86    82

    90    81    80    76

    80    75    81    75

>> p = friedman(X,1)

p = 0.0434

因此可以认为，四个地区制作水煮鱼的水平有显著性差别。至于是那两个之间有显著性差别还需要一一比较。

结语：讲到这里，常见的显著性检验方法就算是讲完了。希望通过这篇博文可以使显著性检验不再成为各位看官的心头大患，不必再谈“检”色变。如果真的可以做到这样，于愿足矣。