1. 二重积分

将$Oxy$平面矩形区域$R$分割成互不重叠的小矩阵$R_{ij}$, 面积为$\Delta R_{ij}$，$i=1,\cdots,n$, $j=1,\cdots,m$。 在$R_{ij}$内任取一点$(x_{ij}^*, y^*_{ij})$， 则曲顶小柱体的近似体积为

所有这些近似小柱体的体积和为

当$R$越分越细时，$\sigma$的极限就是曲顶柱体的体积。

与一维不同的是，对于一般的平面区域$D$，分割方式是多种多样的。每个小块是否有面积，如何计算它们的面积，是建立二重积分的难点。

先从矩形区域开始

定义 1. 设$R=[a,b]\times[c,d]$，$f(x,y)$是$R$上的一个函数。作$[a,b]$和$[c,d]$的分割：