放缩法在导数压轴题中的应用郑州第四十四中学

恰当采用放缩法 巧证导数不等式

郑州市第四十四中学 苏明亮

放缩法是高中数学中一种重要的数学方法， 其是在导数不等式证明中更是大放异彩 一、利用基本不等式放缩，化曲为直

例1 (2012年高考辽宁卷理科第 21题(n))设f(x) ln(x 1)

尤其在证明不等式中经常用到. .下面试举几例，以供大家参考.

由于近几年

数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴 题中，尤

1.证明：当

0 x 2 时，f(x)

9x x 6

证明：由基本不等式，当 x 0时，2j(x 1) 1 x 2,故

1.

f(x) ln(x 1)

--- x

,x 1 1 ln(x 1)- x 9x

- ---------- ,

1 1 2x6 54 x(x2 15x 36)

则 h'(x) x 1 2 (x 6)2 2(x 1)(x 6)2

当0 x 2时，h'(x) 0,所以h(x)在(0,2)内是减函数.故又由h(x) h(0) 0, 所以 ln(x 1) x -9^,即 ln(x 1) jx~7 2x6

... 9x x 6

9x x 6

故当0 x 2时，f(x) ――.

评注：本题第(n )问若直接构造函数

h(x

9x

f (x)

,对h(x)进行求导，由于

)

h'(x)中既有根式又有分式，因此 h'(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对

进行放缩处理，使问题得到解决

.上面的解法中，难点在用

基本不等式证明

Jx~7 x 1,亦即是将抛物线弧 y 7x-7放大化简为直线段y - 1 ,而该线段正是 2 2

抛物线弧y jx=在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处 理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静

例2 (2013年新课标全国n卷第 21题(n))已知函数f(x) ex ln(x m).当m 2

时，证明f (x) 0.

证法1：函数f(x)的定义域为(m,

)，则 f '(x) ex

(x m)ex 1 x m

设 g(x) (x m)ex 1 ,因为 g'(x) (x m 1)ex 0, 所以g(x)在(m,)上单调递增. 又 g( m) 1 0, g(2 m) 2e故 g(x) 0在(m,

2 m

1 2 1 1 0,

)上有唯一实根x0.

)时,g(x) 0, f'(x) 0,

当 x ( m,xO)时，g(x) 0, f'(x) 0;当 x (x0, 从而当x x0时，f (x)取得最小值为f(%).

1

由方程 g(x) 0 的根为 x0,得 e\--------- , ln(x0 m)

x0 m

x

x0,

1 1

故 f(x0) ------ x0 ------ (x0 m) m 2 m (当且仅当 x0 m 1取等号)，

x0 m x0 m

一

又因为m 2时，所以f (x0) 0.

1 取等号的f(x0) 0条件是x0 m 1, e\------------ 及m 2同时成立，这是不可能

x0 m

的，所以 f (x0) 0 ,故 f (x) 0.

证法2：因y ln x在定义域上是增函数，而 m 2,所以ln(x 2) ln(x m), 故只需证明当m 2时，f (x) 0即可.

1

当m 2时，f'(x) e

x

x 2

在(2,)上单调递增.

又 f'(1) 0, f'(0) 0,故 f'(x) 0 在(2,)上有唯一实根 x0,且 x0 ( 1,0). 当 x ( 2,xO)时，f'(x) 0;当x (x0,)时，f'(x) 0 ,从而当 x x0 时，f (x) 取得最小值.

1

由 f (x) 0 得 e\------ , ln(x0 2)

x0 ,

x0 2

1 ( 1)2

0

故 f(x) f(x0) ----- x0 (x―- 0.

x0 2 x0 2

综上，当m 2时，f(x) 0.

评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法

0

.证法1直接求导证

明，由于其含有参数 m ,因而在判断g(x)的零点和求f(x)取得最小值f(x)显得较为麻 烦；证法2利用对数函数 y ln x的单调性化动为静，证法显得简单明了 处理函数隐零点问题的一个经典范例 三、活用函数不等式放缩，化繁为简

两个常用的函数不等式：

.

.此外，本题也是

e x 1 (x R) Inx x 1(x 0)

x

两个常用的函数不等式源于高中教材(人教 出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章

A版选修2-2, P)的一组习题，曾多次

32

[1

].

bex1

例3 (2014年高考新课标I卷理科第

21题)设函数f(x) aexlnx b^ ,曲线

x

y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y e(x 1) 2.

(I)求

a,b

(II )证明：f (x) 1.

分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调 性，求函数最值以及不等式的证明

.第(I)问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数

f(x)的导数，易得a 1,b 2 .第(II )问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不

等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题 下面笔者利用函数不等式来进行证明

证明：由 e

x

x 1

.本题第(II )问证法较多，

.

x

x 1 ,得 e x ,即 e ex,

,,1 x ....................................................... 一

相关推荐：