高等数学

1.1 （1） 当 x → a 时 ， 函 数 f ( x ) 及 F ( x ) 都 趋 近 于 零 ； 当x\to a时，函数f(x)及F(x)都趋近于零； 当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋近于零； （2） 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 内 ， f ′ ( x ) 与 F ′ ( x ) 都 存 在 且 F ′ ( x ) 不 等 于 0 ； 在点a的某去心邻域内，f'(x)与F'(x)都存在且F'(x)不等于0； 在点a的某去心邻域内，f′(x)与F′(x)都存在且F′(x)不等于0； （3） lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) 存 在 （ 或 为 无 穷 大 ） 。 \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）。 limx→a​F′(x)f′(x)​存在（或为无穷大）。 那么 lim ⁡ x → a f ( x ) F ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)} limx→a​F(x)f(x)​=limx→a​F′(x)f′(x)​。

上诉结论可以用柯西中值定理证明。如果所得结果仍是0/0型，则可以继续使用洛必达法则。

1.2 （1） 当 x → ∞ 时 ， 函 数 f ( x ) 和 F ( x ) 都 趋 近 于 零 ； 当x\to \infin时，函数f(x)和F(x)都趋近于零； 当x→∞时，函数f(x)和F(x)都趋近于零； （2） 当 ∣ x ∣ ; N 时 ， f ′ ( x ) 与 F ′ ( x ) 都 存 在 ， 且 F ′ ( x ) 不 等 于 0 ； 当|x|;N时，f'(x)与F'(x)都存在，且F'(x)不等于0； 当∣x∣>N时，f′(x)与F′(x)都存在，且F′(x)不等于0； （3） lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) 存 在 （ 或 为 无 穷 大 ） 。 \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大）。 limx→a​F′(x)f′(x)​存在（或为无穷大）。 那么 lim ⁡ x → a f ( x ) F ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)} limx→a​F(x)f(x)​=limx→a​F′(x)f′(x)​。

2.1 定义 如 果 f ( x ) 在 区 间 I 上 连 续 ， 如 果 对 于 I 上 任 意 两 点 x 1 , x 2 恒 有 如果f(x)在区间I上连续，如果对于I上任意两点x_1,x_2恒有 如果f(x)在区间I上连续，如果对于I上任意两点x1​,x2​恒有 f ( x 1 + x 2 2 ) ; f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ， f(\frac{x_1+x_2}{2});\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}， f(2x1​+x2​​)0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （2） 若 在 ( a , b ) 内 f ′ ′ ( x ) ; 0 ， 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 的 图 形 是 凸 的 。 若在(a,b)内f''(x);0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。 若在(a,b)内f′′(x)