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一、三角函数公式

在算不定积分时，经常需要用到换元法。而很多问题换元时，都是三角函数换元。

算不定积分时常见的三角函数公式笔记：

$tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}$

图像：y=tanx

$sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}$

$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}$

$tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}$

$sin\alpha\cdot cos\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}$

$cos\alpha\cdot cos\beta=\frac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}$

$sin\alpha\cdot sin\beta=\frac{cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)}{2}$

$sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{sin^{2}\frac{\alpha}{2}+cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{tan^{2}\frac{\alpha}{2}+1}$ ，

$cos\alpha=cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{sin^{2}\frac{\alpha}{2}+cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+tan^{2}\frac{\alpha}{2}}$

这2个公式很重要，有些不定积分的计算需要技巧，在想不到技巧时，可以用这两个公式蛮算。

$sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{2}\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha)=\sqrt{2}\cdot(sin\alpha cos\frac{\pi}{4}+cos\alpha sin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$

二、导数公式：

$(uv)^{'}=u^{'}v+v^{'}u$

$(\frac{u}{v})^{'}=\frac{u^{'}v-v^{'}u}{v^{2}}$

$(arcsinx)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$令y=arcsinx，则x=siny，则cosy=\sqrt{1-x^{2}}$

$则\frac{dsiny}{dx}=\frac{dsiny}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=cosy\cdot y^{'}$

$对x=siny两边同时关于x求导，得\frac{dsiny}{dx}=\frac{dx}{dx}$

$即：cosy\cdot y^{'}=1$

$(arcsinx)^{'}=y^{'}=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(arccosx)^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(arctanx)^{'}=\frac{1}{1+x^{2}}$

三、隐函数求导

例： $siny+e^{x}+xy-1=0$ ，求在 $x=0$ 时导数。

方程两边同时求关于 $x$ 的导数得：

$cosy\cdot \frac{dy}{dx}+e^{x}+y+x\cdot \frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-y-e^{x}}{cosy+x}$

$当x=0时，y=0$ ，带入上式即可得 $x=0$ 时， $\frac{dy}{dx}=-1$

四、常见不定积分公式：

$\int_{}^{}0dx=C$

$\int_{}^{}x^{u}dx=\frac{x^{u+1}}{u+1}+C$

$\int_{}^{}\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C$

$\int_{}^{}a^{x}dx=\frac{a^{x}}{ln a}+C$

$\int_{}^{}sinxdx=-cosx+C$

$\int_{}^{}cosxdx=sinx+C$

$\int_{}^{}\frac{1}{cos^{2}x}dx$ = $tanx+C$

$\int_{}^{}\frac{1}{sin^{2}x}dx$ = $-cotx+C$

五：符号意义

$v^{'}dx=\frac{dv}{dx}\cdot dx=dv$

理解这些符号的意思，于是有如下简单的推导：

$\int_{}^{}tanxdx=\int_{}^{}\frac{sinx}{cosx}dx=\int_{}^{}\frac{-1}{cosx}d(cosx)=-ln\left| cosx \right|+C$

$\int_{}^{}cotxdx=\int_{}^{}\frac{cosx}{sinx}dx=\int_{}^{}\frac{1}{sinx}d(sinx)=ln\left| sinx \right|+C$

六、分部积分法

$\int_{}^{}udv=uv-\int_{}^{}vdu$

例1： $\int_{}^{}xcosxdx=\int_{}^{}xdsinx=xsinx-\int_{}^{}sinxdx=xsinx+cosx+C$

例2: $\int_{}^{}x^{2}cosxdx$

= $\int_{}^{}x^{2}dsinx$

= $x^{2}sinx-\int_{}^{}sinxd(x^{2})$

= $x^{2}sinx-\int_{}^{}2xsinxdx$

= $x^{2}sinx-2sinx+2xcosx+C$

例3：求 $\int_{}^{}e^{ax}cosbxdx$ ， $\int_{}^{}e^{ax}sinbxdx$

$\int_{}^{}e^{ax}cosbxdx =\frac{1}{a}\int_{}^{} cosbxd(e^{ax}) =\frac{1}{a}\cdot e^{ax}cosbx+\frac{b}{a}\cdot \int_{}^{}e^{ax}sinbxdx$

$\int_{}^{}e^{ax}sinbxdx =\frac{1}{a}\cdot\int_{}^{}sinbxd(e^{ax}) =\frac{1}{a}\cdot e^{ax}sinbx-\frac{b}{a}\int_{}^{}e^{ax}cosbxdx$

解上述二元一次方程组，可得： $\int_{}^{}e^{ax}cosbxdx$ ， $\int_{}^{}e^{ax}sinbxdx$

七、换元法

例1： $\int_{}^{}arcsinxdx$

令 $y=arcsinx$ ，则 $x=siny，cosy=\sqrt{1-x^{2}}$ 。

$\Rightarrow$ $\int_{}^{}arcsinxdx$

= $\int_{}^{}yd(siny)$

= $ysiny-\int_{}^{}sinydy$

= $ysiny+cosy$

= $xarcsinx+\sqrt{1-x^{2}}+C$

类似这种反函数，都可以尝试这样换元。

例2： $\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx$ ，其中a为常数

令 $x=a\cdot tan\theta$ ，

则 $dx=d(a\cdot tan\theta) =\frac{d(a\cdot tan\theta)}{d\theta}\cdot d\theta =(a\cdot tan\theta)^{'}d\theta =$ $\frac{a}{cos^{2}\theta}d\theta$

原式= $\int_{}^{}\frac{cos^{2}\theta}{a^{2}}\cdot\frac{a}{cos^{2}\theta}d\theta$ = $\int_{}^{}\frac{1}{a}d\theta$ = $\frac{\theta}{a}+C$ = $\frac{1}{a}\cdot arctan\frac{x}{a}+C$ ，其中C为常数。

例3： $\int_{}^{}\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}dx$ ，令 $x=a\cdot tan\theta$ ，则 $dx=d(a\cdot tan\theta)=\frac{a}{cos^{2}\theta}d\theta$ 。

$则：\int_{}^{}\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}dx$

$=\int_{}^{}\frac{1}{(\frac{a^{2}}{cos^{2}\theta})^{m}}\cdot \frac{a}{cos^{2}\theta}d\theta$

$=\int_{}^{}\frac{(cos\theta)^{2m-2}}{a^{2m-1}}d\theta$

接下来可以用递推法算出结果。

递推法详见第七条。

类似这种带 $x^{2}+a^{2}$ ，都可以尝试这样换元

形如： $\int_{}^{}\frac{1}{a^{2}-x^{2}}dx$ ，可令 $x=asin\theta$ ，其中 $\theta$ 属于复数域

类似这种带 $x^{2}-a^{2}$ ，都可以尝试这样换元

例4： $\int_{}^{}\frac{x+2}{(x^{2}+2x+2)^{8}}dx$

= $\int_{}^{}\frac{x+1+1}{[(x+1)^{2}+1)]^{8}}dx$

令 $x+1=tan\theta，$ 则 $dx=d(tan\theta-1)=\frac{1}{cos^{2}\theta}d\theta$

$原式=\int_{}^{}\frac{tan\theta+1}{(tan^{2}\theta+1)^{8}}\cdot \frac{1}{cos^{2}\theta}d\theta$

$=\int_{}^{}(sin\theta\cdot cos^{13}\theta +cos^{14}\theta)d\theta$

$=-\int_{}^{}(cos\theta)^{13} d(cos\theta)+\int_{}^{}(cos\theta)^{14}d\theta$

$=\int_{}^{}(cos\theta)^{14}d\theta-\frac{cos^{14}\theta}{14}+C$

之后使用递推法算出结果。

递推法详见第七条。

形如这样的复合函数都可以尝试使用这种方法换元。

八、递推法

$I_{n}=\int_{}^{}(sinx)^{n}dx$

= $-\int_{}^{}(sinx)^{n-1}d(cosx)$

= $-(sinx)^{n-1}cosx+\int_{}^{}cosxd(sinx)^{n-1}$ ，（注：分部积分法）

= $-(sinx)^{n-1}cosx+\int_{}^{}(n-1)\cdot (sinx)^{n-2}(cosx)^{2}dx$

= $-(sinx)^{n-1}cosx+(n-1)\int_{}^{}(sinx)^{n-2}(1-sin^{2}x)dx$

= $-(sinx)^{n-1}cosx+(n-1)\int_{}^{}(sinx)^{n-2}dx-(n-1)\int_{}^{}(sinx)^{n}dx$

= $-(sinx)^{n-1}cosx+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

可得： $I_{n}=\frac{n-1}{n}\cdot I_{n-2}-\frac{(sinx)^{n-1}cosx}{n}$

九、其他

$\int_{}^{}\frac{1}{sinxcosx}dx$

= $\int_{}^{}\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sinxcosx}dx$

= $\int_{}^{}(tanx+cotx)dx$

= $-ln\left| cosx \right|+ln\left| sinx \right|+C$

= $ln\left| tanx \right|+C$

于是：

$\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx =\int_{}^{}\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx =\int_{}^{}\frac{1}{sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}d(\frac{x}{2}) =ln\left| tan\frac{x}{2} \right|+C$

$\int_{}^{}\frac{1}{cosx}dx =\int_{}^{}\frac{1}{sin(x+\frac{\pi}{2})}d(x+\frac{\pi}{2}) =ln\left| tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}) \right|+C$

还有另外的解法：

$\int_{}^{}\frac{1}{cosx}dx$

= $\int_{}^{}\frac{cosx}{cos^{2}x}dx$

= $\int_{}^{}\frac{cosx}{1-sin^{2}x}dx$

= $\frac{1}{2}\cdot\int_{}^{}(\frac{1}{sinx+1}-\frac{1}{sinx-1})d(sinx)$

= $\frac{1}{2}\cdot (ln\left| sinx+1 \right|-ln\left| sinx-1 \right|)+C$

= $\frac{1}{2}\cdot ln\frac{1+sinx}{1-sinx}+C$

= $\frac{1}{2}\cdot ln\frac{(1+sinx)(1+sinx)}{(1+sinx)(1-sinx)}+C$

= $\frac{1}{2}\cdot ln\frac{(1+sinx)^{2}}{cos^{2}x}+C$

$=ln \left| \frac{1+sinx}{cosx} \right|+C$

同理可得： $\int_{}^{}\frac{1}{sinx}dx=ln\left| \frac{1-cosx}{sinx} \right|+C$

十、无法求不定积分的函数

应用泰勒展开式或者麦克劳伦展开式，将函数化为多项式后求解积分。

例如正态分布问题中的积分问题，

呆熊猫：一个披着概率统计外衣的二重积分问题，想不通

参考方法1。

再比如 $\int_{a}^{b}e^{x^{3}}dx$ ，也一样方法即可求解。

十一、定积分的简单应用

定积分最常见的应用就是算曲边图形的面积或周长，比如圆、椭圆、摆线。

如图：椭圆面积可看成是第一象限面积的4倍，第一象限面积可看成是无数小矩形面积之和，第一象限小矩形高度为 $y$ ，宽度为 $dx$ ，单个小矩形面积= $y\cdot dx$

$\Rightarrow$ 椭圆面积 $S=4\int_{0}^{a}ydx$

令 $x=asin\theta，y=bcos\theta$ ，

$\Rightarrow S =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}bcos\theta d(asin\theta)$

$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ab\cdot cos^{2}\theta d\theta$

$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ab\cdot \frac{cos2\theta+1}{2} d\theta$

$=\pi ab$ ，（注： $4\int_{}^{}ab\cdot \frac{cos2\theta+1}{2} d\theta=absin2\theta+2ab\theta+C$ ）

摆线： $x=a(\theta-sin\theta)，y=a(1-cos\theta)$ ，参数方程本身就是一种换元。

如图，小矩形面积= $y\cdot dx$ 。

$当y=0时，\theta=2k\pi，k为整数。$

$而当x=0时，y=0，所以第一部分为0\leq\theta\leq\ 2\pi 。$

$所以第一部分0\leq x\leq 2\pi a 。$

摆线第一部分面积：

$S=\int_{0}^{2\pi a}ydx$

$=\int_{0}^{2\pi}(a-acos\theta)d(a\theta-asin\theta)$

$=\int_{0}^{2\pi}a^{2}(1+cos^{2}\theta-2cos\theta)d\theta$

$=a^{2}\cdot\int_{0}^{2\pi}(1+cos^{2}\theta)d\theta-a^{2}\cdot\int_{0}^{2\pi}2cos\theta d\theta$

$=3\pi a^{2}$

如图中所示，根据勾股定理可得：微小线段长度 $ds$ （注意：这里的s是小写字母，不是上面的面积S）

$ds =\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}$

$=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^{2}+(\frac{dy}{d\theta})^{2}}d\theta$

$=a\sqrt{(1-cos\theta)^{2}+(sin\theta)^{2}}d\theta$

$=a\sqrt{1-2cos\theta+cos^{2}\theta+sin^{2}\theta}d\theta$

$=a\sqrt{2-2cos\theta}d\theta\$

$=a\sqrt{2-2\cdot(1-2sin^{2}\frac{\theta}{2})}d\theta$

$=\left| 2asin\frac{\theta}{2} \right|d\theta$

$=2asin\frac{\theta}{2}d\theta （当0\leq\theta\leq 2\pi时，2asin\frac{\theta}{2}\geq0）$

摆线第一部分曲线长度：

L= $\int_{0}^{2\pi}2asin\frac{\theta}{2}d\theta=8a$

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