（二十一）协变导数

张量场函数梯度的分量是张量场分量对坐标的协变导数，而不是张量场分量对坐标的普通导数！

根据 Leibniz公式 有： ∂ F ⃗ ∂ x i = ( ∂ F k ∂ x i + F j Γ i j k ) g ⃗ k ≜ F ; i k   g ⃗ k ≜ ▽ i F k   g ⃗ k    = ( ∂ F k ∂ x i − F j Γ i k j ) g ⃗ k ≜ F k ; i   g ⃗ k ≜ ▽ i F k   g ⃗ k \begin{aligned} & \frac{\partial\vec{F}}{\partial x^i} =(\frac{\partial F^k}{\partial x^i}+F^j\Gamma_{ij}^k)\vec{g}_k \triangleq F^k_{;i}\ \vec{g}_k \triangleq \bigtriangledown_iF^k\ \vec{g}_k\\\\ &\quad\ \ =(\frac{\partial F_k}{\partial x^i}-F_j\Gamma_{ik}^j)\vec{g}^k \triangleq F_{k;i}\ \vec{g}^k \triangleq \bigtriangledown_iF_k\ \vec{g}^k \end{aligned} ​∂xi∂F ​=(∂xi∂Fk​+FjΓijk​)g ​k​≜F;ik​ g ​k​≜▽i​Fk g ​k​  =(∂xi∂Fk​​−Fj​Γikj​)g ​k≜Fk;i​ g ​k≜▽i​Fk​ g ​k​ 那么， ▽ F ⃗ = g ⃗ i ⊗ ∂ F ⃗ ∂ x i = F ; i k   g ⃗ i g ⃗ k = ▽ i F k   g ⃗ i g ⃗ k = F k ∣ i   g ⃗ i g ⃗ k （ 混 合 分 量 ） = F k ; i   g ⃗ i g ⃗ k = ▽ i F k   g ⃗ i g ⃗ k = F k ∣ i   g ⃗ i g ⃗ k （ 协 变 分 量 ） F ⃗ ▽ = ∂ F ⃗ ∂ x i ⊗ g ⃗ i = F ; i k   g ⃗ k g ⃗ i = ▽ i F k   g ⃗ k g ⃗ i = F k ∣ i   g ⃗ k g ⃗ i （ 混 合 分 量 ） = F k ; i   g ⃗ k g ⃗ i = ▽ i F k   g ⃗ k g ⃗ i = F k ∣ i   g ⃗ k g ⃗ i （ 协 变 分 量 ） \begin{aligned} &\bigtriangledown\vec{F} =\vec{g}^i\otimes\frac{\partial\vec{F}}{\partial x^i} =F^k_{;i}\ \vec{g}^i\vec{g}_k =\bigtriangledown_iF^k\ \vec{g}^i\vec{g}_k =F^k|_i\ \vec{g}^i\vec{g}_k（混合分量）\\\\ &\qquad\qquad\qquad\quad=F_{k;i}\ \vec{g}^i\vec{g}^k =\bigtriangledown_iF_k\ \vec{g}^i\vec{g}^k =F_k|_i\ \vec{g}^i\vec{g}^k（协变分量）\\\\ &\vec{F}\bigtriangledown =\frac{\partial\vec{F}}{\partial x^i}\otimes\vec{g}^i =F^k_{;i}\ \vec{g}_k\vec{g}^i =\bigtriangledown_iF^k\ \vec{g}_k\vec{g}^i =F^k|_i\ \vec{g}_k\vec{g}^i（混合分量）\\\\ &\qquad\qquad\qquad\quad=F_{k;i}\ \vec{g}^k\vec{g}^i =\bigtriangledown_iF_k\ \vec{g}^k\vec{g}^i =F_k|_i\ \vec{g}^k\vec{g}^i（协变分量）\\\\ \end{aligned} ​▽F =g ​i⊗∂xi∂F ​=F;ik​ g ​ig ​k​=▽i​Fk g ​ig ​k​=Fk∣i​ g ​ig ​k​（混合分量）=Fk;i​ g ​ig ​k=▽i​Fk​ g ​ig ​k=Fk​∣i​ g ​ig ​k（协变分量）F ▽=∂xi∂F ​⊗g ​i=F;ik​ g ​k​g ​i=▽i​Fk g ​k​g ​i=Fk∣i​ g ​k​g ​i（混合分量）=Fk;i​ g ​kg ​i=▽i​Fk​ g ​kg ​i=Fk​∣i​ g ​kg ​i（协变分量）​ 显然，向量分量的协变导数 ▽ i F k \bigtriangledown_iF_k ▽i​Fk​ 或 ▽ i F k \bigtriangledown_iF^k ▽i​Fk 分别为向量梯度（二阶张量）的协变与混合分量，二者之间满足指标升降关系： F ; i k = g k j F j ; i F k ; i = g j k F ; i j   ▽ i F k = g k j ▽ i F j ▽ i F k = g j k ▽ i F j F^k_{;i}=g^{kj}F_{j;i} \quad F_{k;i}=g_{jk}F^j_{;i}\\\ \\ \bigtriangledown_iF^k=g^{kj}\bigtriangledown_iF_j \quad \bigtriangledown_iF_k=g_{jk}\bigtriangledown_iF^j F;ik​=gkjFj;i​Fk;i​=gjk​F;ij​ ▽i​Fk=gkj▽i​Fj​▽i​Fk​=gjk​▽i​Fj 通过上述指标升降关系进一步可知： F ; i k = ( g k j F j ) ; i = g k j F j ; i   F k ; i = ( g j k F j ) ; i = g j k F ; i j   ▽ i ( F j g k j ) = g k j ▽ i F j   ▽ i ( F j g j k ) = g j k ▽ i F j F^k_{;i}=(g^{kj}F_j)_{;i}=g^{kj}F_{j;i}\\\ \\ F_{k;i}=(g_{jk}F^j)_{;i}=g_{jk}F^j_{;i}\\\ \\ \bigtriangledown_i(F_jg^{kj})=g^{kj}\bigtriangledown_iF_j\\\ \\ \bigtriangledown_i(F^jg_{jk})=g_{jk}\bigtriangledown_iF^j F;ik​=(gkjFj​);i​=gkjFj;i​ Fk;i​=(gjk​Fj);i​=gjk​F;ij​ ▽i​(Fj​gkj)=gkj▽i​Fj​ ▽i​(Fjgjk​)=gjk​▽i​Fj 意味着：度量张量的协变/逆变分量在参与协变导数的运算过程中可直接加入或脱离运算。

命题 矢径 r ⃗ \vec{r} r 的梯度为度量张量

证明： ▽ r ⃗ = g ⃗ i ∂ r ⃗ ∂ x i = g ⃗ i g ⃗ i = G = r ; i j g ⃗ i g ⃗ j = r j ; i g ⃗ j g ⃗ i   r ⃗ ▽ = ∂ r ⃗ ∂ x i g ⃗ i = g ⃗ i g ⃗ i = G = r ; i j g ⃗ j g ⃗ i = r j ; i g ⃗ j g ⃗ i \bigtriangledown\vec{r} =\vec{g}^i\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i} =\vec{g}^i\vec{g}_i =\bold G =r^j_{;i}\vec{g}^i\vec{g}_j =r_{j;i}\vec{g}^j\vec{g}^i\\\ \\ \vec{r}\bigtriangledown =\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}\vec{g}^i =\vec{g}_i\vec{g}^i =\bold G =r^j_{;i}\vec{g}_j\vec{g}^i =r_{j;i}\vec{g}^j\vec{g}^i ▽r =g ​i∂xi∂r ​=g ​ig ​i​=G=r;ij​g ​ig ​j​=rj;i​g ​jg ​i r ▽=∂xi∂r ​g ​i=g ​i​g ​i=G=r;ij​g ​j​g ​i=rj;i​g ​jg ​i 上述证明过程说明： r j ; i = r ; i j = δ i j r_{j;i}=r^j_{;i}=\delta^j_i rj;i​=r;ij​=δij​

对于张量场利用 Leibniz公式 同样可以得到：(以二阶张量场为例) ∂ Φ ∂ x k = ( ∂ Φ i j ∂ x k + Φ m j Γ m k i + Φ i m Γ m k j ) g ⃗ i g ⃗ j ≜ Φ ; k i j g ⃗ i g ⃗ j … \begin{aligned} & \frac{\partial \bold\Phi}{\partial x^k} =(\frac{\partial \Phi^{ij}}{\partial x^k}+\Phi^{mj}\Gamma_{mk}^i+\Phi^{im}\Gamma_{mk}^j)\vec{g}_i\vec{g}_j \triangleq \Phi^{ij}_{;k}\vec{g}_i\vec{g}_j\\\\ &\dots \end{aligned} ​∂xk∂Φ​=(∂xk∂Φij​+ΦmjΓmki​+ΦimΓmkj​)g ​i​g ​j​≜Φ;kij​g ​i​g ​j​…​ 那么 ▽ Φ = Φ ; k i j g ⃗ k g ⃗ i g ⃗ j = ( ∂ Φ i j ∂ x k + Φ m j Γ m k i + Φ i m Γ m k j ) g ⃗ k g ⃗ i g ⃗ j ▽ Φ = Φ ∙ j ; k i g ⃗ k g ⃗ i g ⃗ j = ( ∂ Φ ∙ j i ∂ x k + Φ ∙ j m Γ m k i − Φ ∙ m i Γ j k m ) g ⃗ k g ⃗ i g ⃗ j … \begin{aligned} &\bigtriangledown\bold\Phi=\Phi^{ij}_{;k}\vec{g}^k\vec{g}_i\vec{g}_j=(\frac{\partial \Phi^{ij}}{\partial x^k}+\Phi^{mj}\Gamma_{mk}^i+\Phi^{im}\Gamma_{mk}^j)\vec{g}^k\vec{g}_i\vec{g}_j\\\\ &\bigtriangledown\bold\Phi=\Phi^{i}_{\bullet j;k}\vec{g}^k\vec{g}_i\vec{g}^j=(\frac{\partial \Phi^{i}_{\bullet j}}{\partial x^k}+\Phi^{m}_{\bullet j}\Gamma_{mk}^i-\Phi^{i}_{\bullet m}\Gamma_{jk}^m)\vec{g}^k\vec{g}_i\vec{g}^j\\\\ &\dots \end{aligned} ​▽Φ=Φ;kij​g ​kg ​i​g ​j​=(∂xk∂Φij​+ΦmjΓmki​+ΦimΓmkj​)g ​kg ​i​g ​j​▽Φ=Φ∙j;ki​g ​kg ​i​g ​j=(∂xk∂Φ∙ji​​+Φ∙jm​Γmki​−Φ∙mi​Γjkm​)g ​kg ​i​g ​j…​

书写规则：

{ g ; k i j = ▽ k g i j = g i j ∣ k = 0 ； δ j ; k i = ▽ k δ j i = δ j i ∣ k = 0 ； g i j ; k = ▽ k g i j = g i j ∣ k = 0 \begin{cases} g^{ij}_{;k}=\bigtriangledown_kg^{ij}=g^{ij}|_k=0；\\\\ \delta^{i}_{j;k}=\bigtriangledown_k\delta^{i}_{j}=\delta^{i}_{j}|_k=0；\\\\ g_{ij;k}=\bigtriangledown_kg_{ij}=g_{ij}|_k=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​g;kij​=▽k​gij=gij∣k​=0；δj;ki​=▽k​δji​=δji​∣k​=0；gij;k​=▽k​gij​=gij​∣k​=0​ 证明：

方法一：根据度量张量的协变分量与第一类Christoffel符号的关系: g i j ; k = ∂ g i j ∂ x k − g m j Γ i k m − g i m Γ k j m = 0 g_{ij;k}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-g_{mj}\Gamma^m_{ik}-g_{im}\Gamma^m_{kj}=0 gij;k​=∂xk∂gij​​−gmj​Γikm​−gim​Γkjm​=0 故度量张量的梯度为三阶零张量，其各类型的分量均为零。（证毕）

方法二：在直角坐标系中度量张量的分量为常数，且Christoffel符号为0，故在直角坐标系中度量张量的梯度为三阶零张量，张量具有坐标不变性，得知在任意坐标系下度量张量梯度的分量（度量张量分量的协变导数）为零。（证毕）

意味着，度量张量的分量可以随意参与或脱离协变导数的运算。

在直角坐标系中置换张量的分量为常数，且第二类Christoffel符号为0，故在直角坐标系中置换张量的梯度为四阶零张量，张量具有坐标不变性，得知在任意坐标系下置换张量梯度的分量（置换张量分量的协变导数）为零。（证毕）

▽ ( A ⊗ B ) ≠ ( ▽ A ) ⊗ B + A ⊗ ( ▽ B )   ( A ⊗ B ) ▽ ≠ ( A ▽ ) ⊗ B + A ⊗ ( B ▽ ) \bigtriangledown\bold{(A\otimes B)}\ne(\bigtriangledown\bold{A)\otimes B}+\bold A\otimes(\bigtriangledown\bold{B)}\\\ \\ \bold{(A\otimes B)}\bigtriangledown\ne(\bold{A\bigtriangledown)\otimes B}+\bold A\otimes(\bold{B\bigtriangledown)} ▽(A⊗B)​=(▽A)⊗B+A⊗(▽B) (A⊗B)▽​=(A▽)⊗B+A⊗(B▽) 证明：以二阶张量为例 ▽ ( A ⊗ B ) = ( A i j B p k ) ; l g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k = ( A ; l i j B p k + A i j B p k ; l ) g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k ≠ A ; l i j B p k g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k + A i j B p k ; l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ l g ⃗ p g ⃗ k = ( ▽ A ) ⊗ B + A ⊗ ( ▽ B ) ( A ⊗ B ) ▽ = ( A i j B p k ) ; l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k g ⃗ l = ( A ; l i j B p k + A i j B p k ; l ) g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k g ⃗ l ≠ A ; l i j B p k g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ l g ⃗ p g ⃗ k + A i j B p k ; l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ p g ⃗ k g ⃗ l = ( A ▽ ) ⊗ B + A ⊗ ( B ▽ ) \begin{aligned} &\bigtriangledown\bold{(A\otimes B)} =(A^{ij}B_{pk})_{;l}\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad=(A^{ij}_{;l}B_{pk}+A^{ij}B_{pk;l})\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad\ne A^{ij}_{;l}B_{pk}\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k+A^{ij}B_{pk;l}\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^l\vec{g}^p\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad=(\bigtriangledown\bold{A)\otimes B}+\bold A\otimes(\bigtriangledown\bold{B)}\\\\ &\bold{(A\otimes B)}\bigtriangledown =(A^{ij}B_{pk})_{;l}\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k\vec{g}^l\\\\ &\qquad\qquad\quad=(A^{ij}_{;l}B_{pk}+A^{ij}B_{pk;l})\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k\vec{g}^l\\\\ &\qquad\qquad\quad\ne A^{ij}_{;l}B_{pk}\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^l\vec{g}^p\vec{g}^k+A^{ij}B_{pk;l}\vec{g}_i\vec{g}_j\vec{g}^p\vec{g}^k\vec{g}^l\\\\ &\qquad\qquad\quad=(\bold{A\bigtriangledown)\otimes B}+\bold A\otimes(\bold{B\bigtriangledown)} \end{aligned} ​▽(A⊗B)=(AijBpk​);l​g ​lg ​i​g ​j​g ​pg ​k=(A;lij​Bpk​+AijBpk;l​)g ​lg ​i​g ​j​g ​pg ​k​=A;lij​Bpk​g ​lg ​i​g ​j​g ​pg ​k+AijBpk;l​g ​i​g ​j​g ​lg ​pg ​k=(▽A)⊗B+A⊗(▽B)(A⊗B)▽=(AijBpk​);l​g ​i​g ​j​g ​pg ​kg ​l=(A;lij​Bpk​+AijBpk;l​)g ​i​g ​j​g ​pg ​kg ​l​=A;lij​Bpk​g ​i​g ​j​g ​lg ​pg ​k+AijBpk;l​g ​i​g ​j​g ​pg ​kg ​l=(A▽)⊗B+A⊗(B▽)​ 通过上述证明过程，还可知道：特别地， ▽ ( φ B ) = ( ▽ φ ) ⊗ B + φ ( ▽ B )   ( φ A ) ▽ = ( A ▽ ) φ + A ⊗ ( ▽ φ ) \bigtriangledown\bold{(\varphi B)}=(\bigtriangledown\varphi)\otimes\bold{ B}+\varphi(\bigtriangledown\bold{B)}\\\ \\ (\varphi\bold{A)}\bigtriangledown=(\bold{A\bigtriangledown)}\varphi+\bold A\otimes(\bigtriangledown\varphi) ▽(φB)=(▽φ)⊗B+φ(▽B) (φA)▽=(A▽)φ+A⊗(▽φ) 其中， φ \varphi φ 为标量场函数， A , B \bold{A,B} A,B为向量场函数。

▽ ( A ⋅ B ) ≠ ( ▽ A ) ⋅ B + A ⋅ ( ▽ B )   ( A ⋅ B ) ▽ ≠ ( A ▽ ) ⋅ B + A ⋅ ( B ▽ ) \bigtriangledown\bold{(A\cdot B)}\ne(\bigtriangledown\bold{A)\cdot B}+\bold A\cdot(\bigtriangledown\bold{B)}\\\ \\ \bold{(A\cdot B)}\bigtriangledown\ne(\bold{A\bigtriangledown)\cdot B}+\bold A\cdot(\bold{B\bigtriangledown)} ▽(A⋅B)​=(▽A)⋅B+A⋅(▽B) (A⋅B)▽​=(A▽)⋅B+A⋅(B▽) 证明：以二阶张量为例 ▽ ( A ⋅ B ) = ( A i j B j k ) ; l g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ k = ( A ; l i j B j k + A i j B j k ; l ) g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ k ≠ A ; l i j B j k g ⃗ l g ⃗ i g ⃗ k + A i l B j k ; l g ⃗ i g ⃗ j g ⃗ k = ( ▽ A ) ⋅ B + A ⋅ ( ▽ B ) … \begin{aligned} &\bigtriangledown\bold{(A\cdot B)} =(A^{ij}B_{jk})_{;l}\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad=(A^{ij}_{;l}B_{jk}+A^{ij}B_{jk;l})\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad\ne A^{ij}_{;l}B_{jk}\vec{g}^l\vec{g}_i\vec{g}^k+A^{il}B_{jk;l}\vec{g}_i\vec{g}^j\vec{g}^k\\\\ &\qquad\qquad\quad=(\bigtriangledown\bold{A)\cdot B}+\bold A\cdot(\bigtriangledown\bold{B)}\\\\ &\dots \end{aligned} ​▽(A⋅B)=(AijBjk​);l​g ​lg ​i​g ​k=(A;lij​Bjk​+AijBjk;l​)g ​lg ​i​g ​k​=A;lij​Bjk​g ​lg ​i​g ​k+AilBjk;l​g ​i​g ​jg ​k=(▽A)⋅B+A⋅(▽B)…​ 通过上述证明过程，还可知道：特别地， ▽ ( A ⋅ u ⃗ ) = ( ▽ A ) ⋅ u ⃗ + ▽ u ⃗ ⋅ A T \bigtriangledown(\bold{A}\cdot\vec{u})=(\bigtriangledown\bold A)\cdot\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}\cdot\bold A^T ▽(A⋅u )=(▽A)⋅u +▽u ⋅AT 其中， A , B \bold{A,B} A,B为二阶向量场函数。