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示例1: 自由落体的函数: s = f(t) = 1/2gt2 时间t0到t的平均速度为: 在t0时刻的瞬时速度为: 示例2:曲线的切线斜率 导数的定义: 导数定义式一: 导数定义式二:利用x - x0 = Δx变形得到 一般地,导数的定义式,还可以写成以下形式(导数的广义定义式):使用Ψ(h)代替Δx 单侧导数:
左、右导数统称为单侧导数。 区间可导与导函数:
函数可导与函数连续的关系: 证明:
可导的差别定理: 示例: 导数的几何意义: 示例: 求点(x0, f(x0)切线方程为:y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) 将x0=6代入,得到y - f(6) = f'(6)(x - 6), 又因f(x)是周期为5的连续函数,因此,相当于求的是:y - f(1) = f'(1)(x - 1) 因此,需要我们求得f(1)和f'(1)。 f'(1):对某点求导,根据导数的定义,可以使用以下任意一种公式:
f(1):求极限,可根据极限定义,无穷小的比较法则,结合题目中的条件,得到。
高阶导数: 高阶导数的定义式: n阶导数的计算方法:
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