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一、前言
在考研数学中,一般涉及到变限积分的题目都会需要对变限积分进行求导运算。本文将总结几种形式的变限积分求导过程。 二、正文注意: 当我们说“求导”时,如果没有特别说明是对谁求导,而且被求导的式子中含有变量 “$x$”, 那么,求导就是对 “$x$” 求导; 变现积分中的积分变量是 “$\mathrm{d} t$” 中的 “$t$”, 在积分运算中,除了 “$t$” 之外的其他变量,例如 “$x$” 都要被看作【常数】来处理。 1. $[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$$$[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ $$f(x).$$ 注意:$f(t)$ 中的 $t$ 既可以是单独的 $t$ 本身,也可以是由 $t$ 和一些常数及初等函数组合而成的关于 $t$ 的函数,只要这个函数中不含 $x$ 就可以按本例中的方法计算该变限积分的导数,例如: $$f(x) = \int_{0}^{x} \ln (1 + \sin t) dt.$$ 则: $$f^{\prime}(x) = \ln (1+x).$$ 2. $[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$$$[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ 在积分运算中把 $x$ 看作常数,常数可以提到积分符号的外面。 $$[x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ $$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + x f(x).$$ 3. $[\int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{d} t]^{\prime}$$$[\int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ $$[\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} tf(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ $$[x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} tf(t) \mathrm{d} t]^{\prime} =$$ $$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t + x f(x) – xf(x) =$$ $$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t.$$ 4. $[\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t]^{\prime}$由 $\mathrm{d} t$ 可知,积分变量是 $t$, 但是,由 $f(x-t)$ 可知,积分函数的自变量是 $x-t$, 因此,必须统一函数自变量和积分变量,在这个过程中要特别注意对积分上限和积分下限的修改。 在这里我们必须要明确的一点是,在变限积分中,积分下限不一定小于积分上限,因此,由 $\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t$ 无法得出 $0 < t < x$ 这样的结论,只能知道,$t$ 对应于 $\int_{0}^{x}$, 即: $$t \Rightarrow \int_{0}^{x}.$$ 于是: $$-t \Rightarrow \int_{-0}^{-x}.$$ 注意:当 $t \Rightarrow \int_{0}^{x}$ 时,$-t \nRightarrow \int_{x}^{0}$. 因为 $-t$ 中的负号 “$-$” 不是相当于在 $\int$ 前面加上个负号,而是对 $\int_{0}^{x}$ 中的上限和下限同时做变化,也就是对上限和下限同时加负号。 进而: $$x-t \Rightarrow \int_{-0+x}^{-x + x} \Rightarrow \int_{x}^{0}.$$ 于是,对于 $[\int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t]^{\prime}$, 我们可以这样计算: 令: $$u = x – t.$$ 则: $$\mathrm{d} u = – \mathrm{d} t.$$ 于是: $$[ \int_{0}^{x} f(x – t) \mathrm{d} t ]^{\prime} =$$ $$[ – \int_{x}^{0} f(u) \mathrm{d} u ]^{\prime} =$$ $$[ \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u ]^{\prime} =$$ $$f(x).$$ 相关例题:[1]. 计算 $\int_{x}^{y}$ $f(x+y – t)$ $\mathrm{d} t$ 5. $[ \int_{1}^{\frac{1}{x}} f(xt) \mathrm{d} t ]^{\prime}$令: $$u = xt.$$ 则: $$\mathrm{d} u = x \mathrm{d} t.$$ 于是: $$t \Rightarrow \int_{1}^{\frac{1}{x}} \Rightarrow xt \Rightarrow \int_{x \times 1}^{x \times \frac{1}{x}} \Rightarrow \int_{x}^{1}.$$ $$[ \int_{1}^{\frac{1}{x}} f(xt) \mathrm{d} t ]^{\prime} =$$ $$[\frac{1}{x} \int_{x}^{1} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime} =$$ $$[\frac{(-1)}{x} \int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime} =$$ 积分时 $x$ 是可以看作常数的,但是求导时 $x$ 不能被看作常数,因此,含有 $x$ 的式子是不能提到求导符号作用范围之外的。于是,这样写是错的:$\frac{(-1)}{x} [\int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u]^{\prime}$. $$\frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{x} f(u) \mathrm{d} u – \frac{1}{x} f(x).$$ Tips上述虽然都是关于变限积分求导的计算,但是,其中用到的一些计算方法也可以用于对变限积分的整理变形运算。 高等数学涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 更新记录2023 年 01 月 06 日 / 第 01 次更新:补充相关链接、优化 Latex 代码、修改标题样式。 EOF 相关文章: 三元隐函数的复合函数求导法则(B012) 极值存在的充分条件:判别公式中的 $A$, $B$, $C$ 都是多少?(B013) 形成空间曲线的空间曲面的法向量:基于一般式方程(B013) 二阶欧拉方程的计算 求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(y, y^{\prime})$(B031) 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 三元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 空间区域的质心公式(B007) 空间区域的形心公式(B007) 定积分的广义分部积分公式(B007) 求解可降阶的微分方程:$y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x, y^{\prime})$(B031) 用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$ 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 二元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 二阶欧拉方程的构型(B029) 三元复合函数求导法则(B012) 三元空间曲面上某点处的法线方程(B013) 一个复合函数求二阶偏导的例题:$u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ 二阶混合偏导与次序无关定理(B012) 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 空间曲线的切线方程:基于参数方程(B013) 函数的幂级数展开:麦克劳林级数(B026) |
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