实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵吗？(正定矩阵的对角元)

定理四：实对称矩阵 一定正交相似于对角矩阵，且该对角矩阵的主对角线上元素为 的全部特征值。. 对实对称矩阵的级数 作数学归纳法。. 时显然。. 假设对于 级的实对称矩阵，结论已成立，现观察 级矩阵的情况。. 任取 的一个特征值 。. 可得到 的一个标准正交基： . 令 ,则 是正交矩阵。. 且有：. .

实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵吗？实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵一般都是为了简化后续的计算。 因为实对称矩阵是特殊的矩阵。 他的特点就是可以正交对角化（一般的矩阵只能相似对角化）即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化 这样做的目的是使得P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP，即P的逆矩阵＝P的转置矩阵。

什么是正定的实对称矩阵？定义：正定的实对称矩阵简称正定矩阵。 定理一： 元实二次型 是正定的，当且仅当他的正惯性指数等于 。 化成规范形： . 正定矩阵的行列式大于零。 实对称矩阵 是（半）正定的充要条件是： 的所有顺序主子式全大于（等于）零。

正交矩阵是什么意思？正交矩阵是可逆矩阵的一种，上面的成立，用正交矩阵一样成立。 ps第二个问题只是简单说明了一下，如果还不明白我明天再补充，手机打字不方便。 λ如果是重根，它对应的特征向量不是单独的方向，而是一个空间。 这个空间里的所有向量都是特征向量。

什么是实对称矩阵的特征值？定理一：实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个根都是实数，从而他们都是特征值。 故实对称矩阵一定有 个特征值。 设 是实对称矩阵 的特征值， 是属于特征值 的特征向量。 由上下两式相等可得： ，故 为实数。