5.正态分布( Normal distribution/ Gaussian distribution)

2024-07-10 00:47| 来源: 网络整理| 查看: 265

离散数据由单个数值组成。连续数据包含一个数据范围，这个范围内的任何一个数值都有可能发生。其数据常常用测量方法得到，而不是用计数方法得到。

对于离散分布来说，我们关心的是取得一个特定数值的概率，对于梁旭概率分布来说，我们关心的是取得一个特定范围的概率。

我们可以用概率密度函数来描述连续随机变量的概率分布。

概率密度函数f(x)是这样的一种函数：通过它可以求出一个数据范围内的某个连续变量的概率，它向我们指示该概率分布的形状。

概率密度函数下方的总面积必须等于1

一、正态分布（高斯分布）

正态分布是连续数据的“理想”模型

如果一个连续速记变量X符合均值为µ，标准差为σ 的正态分布，则通常写作

X ~ N(µ,σ2)

µ指出曲线的中央位置，σ2指出分散性。在实践中，这意味着σ2越大，正态分布曲线越扁平，越宽。

二、正态分布的特点关于 x = µ 对称。即正态分布以均数为中心，左右对称。在 x = µ 处取得概率密度函数的最大值，在x = m ±σ 处有拐点，表现为钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ。μ是位置参数， σ是变异度参数(形状参数)。常用N(μ,σ2)表示均数为μ，标准差为σ的正态分布;用N(0,1)表示标准正态分布。正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于1(也常写作100%)。

三、正态概率计算三步法确定数据分布标准化为N(0,1) 概率表仅给出N(0,1)的概率 Z = X-µ/ σ 用方便易用的概率表查找概率

正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=μ，即均数位置

理论上

μ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% μ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% μ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99%

实际应用中:

X ±1S 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% X ±1.96S 范围内曲线下的面积占总面积的95% X ± 2.58S 范围内曲线下的面积占总面积的99%

案例：新郎与新娘的体重之和综合体重依然是连续数据，而且，综合体重依然符合正态分布。

求出 X +Y的均值和方差，可以使用离散概率分布的相同计算公式，即，如果：

X ~ N(µx,σx2) 且 Y ~ N(µx,σy2)

则：

X +Y ~ N(µ,σ2)

其中

µ = µx + µy σ2 = σx2 + σy2

如果是X-Y

X +Y ~ N(µ,σ2)

其中

µ = µx - µy σ2 = σx2 + σy2 aX +b ~ N(aµ+b,a2σ2) 四、何时用正态分布近似替代二项分布

如果 X ~ B(n,p)，且np >5,nq>5 ，则可以用 X~ N(np,npq)近似取代二项分布。（如果n>50,且p

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