线段重叠部分怎么算

之前我们说过加乘原理是重要的计数方法。容斥原理也不例外，但它是专门针对一些有交叉重叠的计数的问题。对于一些应用题有非常大的帮助，画简单的韦恩图可以帮助我们理解题意。也就是要会画示意图，会看图，还能根据图中的数据计算。

一年级(1)班有36名同学，为丰富学生的课外生活，学校举办了两个兴趣小组，班上同学每人至少参加了一个课外兴趣小组。其中参加音乐兴趣小组的有26人，参加书法小组的有28人。问既参加了音乐小组又参加了书法小组的同学有多少人？

分析：班上同学每人都参加了兴趣小组，但是两个兴趣组的人数直接相加明显比全班人数要多。为什么？

因为有些同学两个小组都参加了，在计算人数的时候，我们重复算了一次。所以把两个兴趣小组的人数相加减去全班总人数得到的就是我们所要求的人数了。

解：26+28-36=18(人)

答：有18名同学同时参加了两个兴趣小组。

当然这道是最简单的容斥原理的应用，只有两种情况。有些题目可能会出现有三个兴趣组，另外还有一个小组都不参加的情况，这种就要复杂许多。不过万变不离其宗，抓住等量关系，先算整体，然后把重复的部分减去。简单归纳为：单层加，双层减。

下面这道图形计算题也用到了容斥原理。

如图在长方形ABCD中，AD=20厘米，AB=8厘米，已知涂色部分面积为100平方厘米，求四边形OEFG的面积。

分析：这是一道图形计算题，这个和容斥原理能挨上边吗？

题目告诉我们这是一个长方形，已知长20厘米，宽8厘米，我们可以求出整个长方形的面积等于160平方厘米。被涂上粉红色的这部分的面积也告诉了我们是100平方厘米。要我们求出这两个三角形相交的部分形成的四边形的面积。

大家想一下，这两个三角形总面积我们是可以算出来，160-100=60平方厘米。

如果这两个三角形不相交的的话，面积和呢是多少？它其实是这个长方形面积的一半，因为这两个三角形的底边相加正好等于长方形的长，而它们的高，其实就是长方形的宽，根据三角形的面积公式可以得出，它们的和等于整个长方形面积的一半。

也就是说160÷2=80平方厘米。

为什么我们算出在整个白色部分，只有60平方厘米呢？这是因为中间有重叠部分，相应的就少了重叠部分它的面积。

解：20×8÷2=80(平方厘米)

80-(160-100)=20(平方厘米)

四边形OEFG的面积为20平方厘米。