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定积分:积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。 与不定积分的区别:定积分是一个确定的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们两者仅仅只存在牛顿-莱布尼兹公式的数学关系,其它什么关系都没有,要特别注意! 正如定积分的概念所说,x的范围是在区间[a,b]上,然后求一个极限,我们今天要做的事比较定积分的大小。 ![]() 图一 如图所示,已知三个关于定积分的式子,比较一下这三个定积分的大小,当我们拿到比较大小的时候,最好能够将三个式子和一个共同的式子比较大小,或者将其中的一个式子解出来,让那个另外两个式子和该式子比较大小,也就是比较被积函数的大小,最后得出结果。 M、N、K三个式子的区间都在[-2/π,2/π]之间。 我们先来看M,对于M这个式子而言,共有的是1+x^2,因此我们将分子化开,将公共部分约调,根据1的反函数是x,2x/(1+x^2)的反函数是ln(1+x^2)最后得到M的结果为π,所以可以得到M即为求函数1在[-2/π,2/π]的极限和。 再来看N,由于1+x 最后来看K,由于1+根号cosx>1,可以得到该式子的极限和大于1,说明K>M。 得到:K>M>N。 给出解决步骤: ![]() 图二 总结:同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数的大小。 注意点:同一区间、被积函数的大小。 再给出一道例题: ![]() 图三 对于这道例题而言,就更加简单了,lnx是已知在正区间上是单调递增的,那么比较一下sinx、cotx和cosx的大小,可以知道在[0,π/4]区间上0 |
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