定积分分部积分典型例题

定积分典型例题20例答案

例1 求33322

32

1lim

(2)n n n n n →∞+++．

分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n

=?的一个因子1

n 乘

入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

33322

32

1lim

(2)n n n n n →∞+++=333

112

lim ()n n n n n

n →∞++

+=1303

4

xdx =?．

例2 2

20

2x x dx -?

=_________．

解法1 由定积分的几何意义知，2

20

2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故220

2x x dx -?

=

2

π

． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t (2

2

t