高等数学:第四章 不定积分(2)分部积分法 特殊类型函数的积分 | 您所在的位置:网站首页 › 定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何不同 › 高等数学:第四章 不定积分(2)分部积分法 特殊类型函数的积分 |
§4.3 分部积分法 设函数 移项得: 对这个等式两边求不定积分,得:
式(1)称为分部积分公式。 (1)还可表述成如下形式:
它的作用是: 若求 【例1】求 解:设
在进行分部积分时,把被积表达式中的哪一部分取作 例如,在上例中,若选择 那么 显然,求 【例2】求 解:
所以 这表明:可连续使用分部积分法。 【例3】求 解:设
再设
将
例三的评注: 1、求 若设 这是一个关于 2、怪圈现象在现实中广泛存在 (1)、分部积分怪圈 (2)、罗必达法则怪圈 (3)、图形怪圈 (4)、语义怪圈 理发师:我要为世界上所有不自已刮胡子的人刮胡子, 但不为世界上所有自己刮胡子的人刮胡子。 某 人:请问,你为自己刮胡子吗? 实际解题中,往往是第一、第二换元法与分部积分法揉合在一起使用;而且在分部积分法使用熟练之后,不必设出 【例4】求 解:令
§4.4 特殊类型函数的积分举例 一、有理函数积分 1、有理函数与有理函数的积分 有理函数是指两个既约多项式之商所表示的函数,它具有如下形式: 其中: 若 若 形如 若 多项式的积分我们已经会求,因此,计算 当 2、代数学中的一个结论 设 其中: 则 常数 【例1】求 解:被积函数分解成部分分式 通分得 令 令 令 于是, 有
【例2】求 解: 比较恒等式两端有:
二、三角函数有理式的积分 1、何谓三角函数的有理式 三角有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。 由于三角函数都可用 2、万能替换 三角有理式的积分 事实上, 有
那么,三角有理式的积分为 由于 【例3】求 解:令 【例4】求 解:令 【例4解法一】 【例4解法二】 三、简单无理函数的积分 一般说来,无理函数的积分十分地复杂,有些无理函数甚至无法求出用有限形式表示的原函数。 这里, 我们仅讨论 【例5】求 解:令 【例6】求 解:令
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