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§5.1 定积分的概念 一、从阿基米德的穷竭法谈起 【引例】从曲线 如图:在区间
故可得到面积值为 为了便于理解阿基米德的思想,我们先引入曲边梯形的概念。 所谓曲边梯形是指这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条是平行的,第三条与前两条垂直叫做底边,第四条边是一条曲线弧叫做曲边,这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。 根据这一定义,引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。 二、曲边梯形的面积计算 设连续函数 如图,在区间 区间 过每个分点作平行于 (由于曲边梯形的高在 具体地 对第 即 于是, 很明显地 小区间 若记 从而 三、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度 在时间间隔 将分划成个时间区间 各时间区间的长度依次为 记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为 在时间间隔 即:将物体在 于是可给出 为得到 若记 则 上述两例, 尽管其实际意义不同, 但有两点是一致的。 1、曲边梯形的面积值 变速直线运动的路程 2、计算 抛开这些问题的具体实际意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括, 我们可给出定积分概念。 四、定积分的定义 设函数 把区间分划成 各区间的长度依次为 在每个小区间 作函数值 作和式 记 若不论对区间 也不论对小区间 只要当 我们称这个极限值 记作 即 其中
如果 对定积分的定义, 我们给出两点重要的注解: 1、定积分的几何意义 在 在 因此,定积分 2、定积分与积分变量无关 由定积分的几何意义可知: 定积分 如果既不改变被积函数 五、定积分的存在定理 【定理一】设 【定理二】设 六、用定义求定积分的典型例子 【例1】 求 解: 为便于计算, 将区间 这样,小区间 积分和式为 将表达式 从而 此例告诉我们这样的信息: 1、用定积分定义来计算定积分的确不方便,有必要寻找简捷而有效的计算方法; 2、
§5.2 定积分的性质、中值定理 规定: 1、 2、 这两条规定的意义较直观。 当 当 相应的小区间的长度 此时,相对于 声明:在下面的讨论中, 对积分上下限的大小均不加以限制,并假定各性质中所列出的定积分均存在。 【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。 即: 证明: 显然,性质一对于任意有限个函数也是成立的。 【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。 即: 证明: 【性质三】如果将积分区间分成两部分, 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。 即: 这一性质的几何意义十分明显。如图,曲边梯形的面积有: 此性质表明,定积分对于积分区间具有可加性。其实,无论三个数 例如:当 【性质四】如果在区间 【性质五】如果在区间 据定积分几何意义,它是一个曲边梯形真正的面积值,故它应为非负的。 【推论一】如果在区间 事实上, 由 【推论二】 证明: 由推论一有: 即: 【性质六】设 则 证明: 则 这一性质可用来估计定积分值的范围,它也具有鲜明的几何意义。 【性质七】( 定积分的中值定理 ) 如果函数 使得 证明:据性质六有 数值
积分中值公式的几何解释 利用计算机编写程序gs0502.m,对定积分 进行数值计算试验,我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时,注意建立被积函数的函数文件f.m
§5.3 微积分基本公式 一、积分上限的函数及其导数 设函数 这一特殊形式的积分有两点应该注意: 其一、因 为了明确起见,将积分变量改用其它符号如 其二、若上限 称 是否确有这类函数? 观察一个例子,正态曲线 它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m,可分别作出 这表明, 【定理一】如果函数 在 证明:当上限 由此得函数的增量 据积分中值定理:
即: 定理一表明: 【定理二】如果函数 就是 定理二的重要意义在于: 其一、肯定了连续函数的原函数的存在性。 其二、揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。 二、牛顿-莱布尼兹公式 【定理三】设 则 证明: 则 令 而 故 从而 即 若令 为了方便,今后记 最后,我们提醒一句,微积分基本公式时,一定要注意条件:
【例1】计算 解: 注:当初阿基米德用穷竭法计算定积分 【例2】设 在 证明: 由假设, 在
从而,
【例3】求极限 解:这是一个 它是以
注明:试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为 公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法,而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨, 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。 这一事实表明:一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此,列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。 定积分的符号 彼此之间有联系,又各自表达不同的意义,可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的,由这一点可看出先进的符号体系是重要的。 我国古代数学尽管历史悠久,但发展缓慢,其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成:勾三股四弦五,即: 在计算机编程中,合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。
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