金融数学第10讲（期权定价：二叉树方法，B

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金融数学第10讲（期权定价：二叉树方法，B

2024-04-05 11:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

5.4 期权定价——二叉树方法5.4.1 单步二叉树（1）例子引入

例子股票当前价格 20，三个月后可能价格为 22 或 18，不分红且有效期 3 个月的欧式看涨期权执行价格为 21，无风险收益率为 12%，如何给该期权定价？

思路：利用股票和期权构造一个投资组合，使其 3 个月后的收益是固定不变的。

一价定律：构造的这个组合应该相当于一定量的无风险资产，那么其收益率一定等于无风险收益率。

股票和期权价格变化如下图所示

设 $\Delta$ 份股票的多头和 1 份期权组合的空头得到的收益率是确定的，那么当股票上涨时，组合的收益为 $22\Delta-1$ ，当股票下跌时，组合的收益为 $18\Delta$ 。令二者相同，得到 $\Delta=0.25$ .

将其代入得到 3 个月时，该组合确定的收益为 4.5。如果无风险利率为 12%，那么这一收益折现后为

$4.5 \mathrm{e}^{-0.12 \times 0.25}=4.3674\\$

而股票价格是 20，设期权价格为 f，那么有 20*0.25 - f = 4.3674，解得 f = 0.633.

（2）一般结论

设不分红股票价格为 S，基于该股票的衍生品的价格为 f。假设该衍生品给出了股票上涨时的价值 fU 以及下跌时的 fD，设 $\Delta$ 份股票的多头和 1 份衍生品的空头得到的收益率是确定的，那么有

$S_{D} \cdot \Delta-f_{D}=S_{U} \cdot \Delta-f_{U}\\$

得到

$\Delta=\frac{f_{U}-f_{D}}{S_{U}-S_{D}}\\$

用 r 表示无风险收益率，那么该组合收益的现值为 $\left(S u \Delta-f_{u}\right) e^{-r T}$ ，其成本为 $S \Delta-f$ ，二者应该相等。所以有

$S \Delta-f=\left(S u \Delta-f_{u}\right) e^{-r T}\\$

由此解得

$f=e^{-r T}\left[p f_{u}+(1-p) f_{d}\right]\\$

其中 $p=\frac{e^{r T} S_{0}-S_{D}}{S_{U}-S_{D}}$ 称为风险中性概率。相当于把股票上涨和下跌的概率分别看做 p 和 1-p，然后将 fU 和 fD 加权的到衍生品的期望收益，再贴现得到衍生品的价格。

风险中性概率与股票真实上涨的概率无关。如果真实上涨概率等于风险中性概率，那么这个股票就没人买了，因为它在包含风险的同时，期望收益与无风险资产一样！（3）股票预期收益的无关性

上面的定价没有用到股票真实的上涨概率，似乎不太合理。因为如果股票真实上涨概率高，那么相应的看涨期权的价格应该也会高才对。

原因在于，我们并不是在完全的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的概率。

5.4.2 风险中性估值（1）原理

我们将上面得到的 p 看做风险中性世界中股票上升的概率（此时人们对于风险是没有感觉的）。那么 $\mathrm{pf}_{\mathrm{u}}+(1-\mathrm{p}) \mathrm{f}_{\mathrm{d}}$ 就是衍生品的预期收益。

在风险中性世界中，股票的预期收益为

$E\left( {{S_T}} \right) = p{S_U} + (1 - p){S_D} = S{e^{rT}}\\$

这表明，平均来看股票价格按照无风险利率增长。因此，确定 p 的一个方法是：令股票的预期收益率等于无风险利率！

我们把每个人都是风险中性的世界称作风险中性世界，在这里人们不要求对风险进行补偿，所有证券的预期收益率都等于无风险利率。衍生证券的定价也满足风险中性的原则，等于其预期收益的贴现。

换一个角度看之前那个例子。

例子股票当前价格 20，三个月后可能价格为 22 或 18，不分红且有效期 3 个月的欧式看涨期权执行价格为 21，无风险收益率为 12%，如何给该期权定价？

股票的收益率等于无风险利率

$22 p+18(1-p)=20 e^{0.12 \times 0.25}\\$

得到 p=0.6523 ，所以该看涨期权的预期收益为

$0.6523 \times 1+0.3477 \times 0=\$ 0.6523\\$

再按照无风险利率贴现得到 0.633，与之前结果一致。

5.4.3 两步二叉树（1）例子引入

例子股票的价格还是 20，但现在我们考虑两个“3个月”，每一个“3个月”股票都可能涨 10% 或者跌 10%。6 个月的欧式看涨期权的执行价格依然为 21，无风险利率为12%。如何给该期权定价？

还是先考虑价格如何变动：

末期的 3.2 和 0 都能直接理解，那么 1.2823 和 2.0257 如何得到呢？

思想：分解为 ABC，BDE，CEF 三个单步二叉树。

我们从后往前，通过 BDE 和 CEF 得到期权在结点 B 和 C 的价值，然后再由 ABC 计算其在 A 点的价值。每一步都用之前的方法即可（可用风险中性概率简化计算）

（2）一般结论

设每个单步二叉树中，股票价格要么上涨到原来的 u 倍，要么跌到原来的 d 倍。

这样假设的好处是，两步的二叉树只有三个分支，其中两个分支重合

注意：股票上涨的风险中性概率求出来是定值，记为 p。

那么两步二叉树模型的定价过程如下给出

$\begin{array}{l} f_{u}=e^{-r \Delta t}\left[p f_{u u}+(1-p) f_{u d}\right] \\ f_{d}=e^{-r \Delta t}\left[p f_{u d}+(1-p) f_{d d}\right] \\ f=e^{-r \Delta t}\left[p f_{u}+(1-p) f_{d}\right] \end{array}\\$

综合得到

$f=e^{-2 r \Delta t}\left[p^{2} f_{u u}+2 p(1-p) f_{u d}+(1-p)^{2} f_{d d}\right]\\$

发现了吗？f 表示的还是预期收益按无风险利率贴现，其中三个概率 p^2,2p(1-p),(1-p)^2分别代表了“两涨”“一涨一跌”“两跌”的概率！

最终分支的概率为可能路径的概率的之和，而每条路径的概率为单步概率的连乘积

例执行价格 52，当前价格 50，每年要么涨 20% 要么跌20%。无风险利率 5%。计算两年期欧式看跌期权的当前价格。

解首先计算风险中性概率：

$p=\frac{e^{0.05 \times 1}-0.8}{1.2-0.8}=0.6282\\$

然后计算末期各种情况对应的期权的收益：涨两次为 0，涨一次为 4 ，跌两次为 20.

然后用相应的风险中性概率 p^2,2p(1-p),(1-p)^2进行加权得到预期收益，再进行贴现。

$f = {e^{ - 2 \times 0.05 \times 1}}\left( {{{0.6282}^2} \times 0 + } \right.\left. {2 \times 0.6282 \times 0.3718 \times 4 + {{0.3718}^2} \times 20} \right) = 4.1923\\$

是不是很简单？价格变动图如下

5.4.4 美式期权估值

二叉树模型也可以用于处理美式期权估值问题（相比之下 Black-Scholz 公式就不行）。差别在于我们需要在每个结点都检验提前执行是否更优。除了末期节点，其余节点都应该取收益较大者。

考虑上面那个例子，不过这里换成美式期权。

例执行价格 52，当前价格 50，每年要么涨 20% 要么跌20%。无风险利率 5%。计算两年期美式看跌期权的当前价格。

解风险中性概率就不用说了吧，直接套用之前的结果：

$p=\frac{e^{0.05 \times 1}-0.8}{1.2-0.8}=0.6282\\\\$

但这里不能直接用 p^2,2p(1-p),(1-p)^2 加权，而要逐步考察是否要提前执行！

为了方便，我把欧式的图抄下来

我们要考虑在 60 和 40 处是否会提前执行！在 40 处提前执行，可以获得 52-40 = 12 的收益，大于 9.4636 所以会提前执行。而 60 处收益为 -8，不会提前执行。因此应该更新 40 处的价格为 12！然后再计算 50 处的价格，并且也要判断是否会提前执行！

最终价格变动结果如下

可以看到，按照单步二叉树得到 50 处的价格为5.0894，大于提前执行的收益 2，所以不会提前执行。

稍微复杂一点点，不过还是简单的！

5.4.5 二叉树模型的实际应用

前面提到，规定单步的上涨 u 与下跌 d 可以减少二叉树的结点。这样做让二叉树模型对连续时间也能进行处理。

我们把 0 到 t 时间分为 n 份，每一份的时间就是 $\Delta t$ 。可以设定 u 和 d 为

$\begin{aligned} u &=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} \\ d &=\frac{1}{u} \end{aligned}\\$

对应的风险中性概率为

$p=\frac{e^{r \Delta t}-d}{u-d}\\$

5.5 布莱克-舒尔斯期权定价模型

基本假设：

资产的收益率服从正态分布基础资产可以自由买卖，并可分割成若干部分基础资产可以卖空基础资产在到期日前不支付股息及其他收入以同样无风险利率可以进行借、贷，且连续发生期权为欧式期权，到期日前不可行使没有税收、交易成本和保证金要求基础资产价格连续基础资产价格和利率的变化在期权有效期内保持一贯其中加粗部分为布莱克-舒尔斯公式所特有的假设（一）股票价格的运动规律

现在考察按日计息的情形，设 $\widetilde{S}_{t}$ 为第 t 日的股价， $\widetilde{R}_{t}$ 是按日计息的日利率。

$r_{t}=365 \times \log \left(1+\frac{\widetilde{R}_{t}}{365}\right)=365 \times \log \left(\frac{\widetilde{S}_{t}}{\widetilde{S}_{t-1}}\right)\\$

其中 $\log \left(\frac{\widetilde{S}_{t}}{\widetilde{S}_{t-1}}\right)$ 为股票一天的收益率，乘上365得到股票一年的收益率。

连续计息的年利率可以用日利率的均值近似计算：

$r=\log (1+\widetilde{R})=\frac{1}{365}\left(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{365}\right)\\$

我们假设

股票收益率 $r_{t}$ 独立同服从正态分布（昨天、今天、明天的收益率独立）股票价格的变动是连续的

根据中心极限定理，r 服从正态分布，继而 $1+\widetilde{R}=\left(\frac{\widehat{S}_{T}}{S_{0}}\right)$ 服从对数正态分布。对数正态将正态分布中负值部分去掉了，作为价格而言更加合适。

$\begin{array}{c} r=\log \left(\frac{\widetilde{S}_{T}}{S_{0}}\right) \sim N\left(\mu T, \sigma^{2} T\right) \\ E\left[\log \left(\frac{\widetilde{S}_{T}}{S_{0}}\right)\right]=\mu T \\ \operatorname{Var}\left[\log \left(\frac{\widetilde{S}_{T}}{S_{0}}\right)\right]=\sigma^{2} T \end{array}\\$

这样股票价格遵循对数正态随机过程

价格连续变化在期权生命期内，股票的预期收益与方差保持不变不同时间段股票收益独立任何时间段股票的复利收益率服从正态分布

股票每日的增长率服从正态分布

$\log \left(\frac{S\left(t_{2}\right)}{S\left(t_{1}\right)}\right) \sim N\left(\mu\left(t_{2}-t_{1}\right), \sigma^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)\right)\\$

并且每日增长率是独立的，这契合了布朗运动的定义。如此一来，股票的年收益率服从的正态分布为 $r=\log \left(\frac{\widetilde{S}_{T}}{S_{0}}\right) \sim N\left(\mu T, \sigma^{2} T\right) \\$

可以看做是标准布朗运动变换得到，即 $\mu T + {\sigma }W\left( T \right)$ ，其中 W(T) 为标准布朗运动。

那么股票的价格为

${S_t} = {S_0}{e^{R\left( t \right)}} = {S_0}{e^{\mu t + {\sigma }W\left( t \right)}}\\$

利用伊藤公式得到

$d S=\mu^{*} S d t+\sigma S d z=\left(\mu+\frac{1}{2} \sigma^{2}\right) S d t+\sigma S d z\\$

伊藤公式如下（如果没学过可以翻看随机过程教材）

$\mathrm{d} F(t, B(t))=\frac{\partial}{\partial x} F(t, B(t)) \mathrm{d} B(t)+\frac{\partial}{\partial t} F(t, B(t)) \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} x} F(t, B(t)) \mathrm{d} t\\$

其中 $\mu^{*}=\mu+\frac{1}{2} \sigma$ 即漂移率，是求股票期望收益后再取对数，而 $\mu$ 是对股票价格取对数之后，再求期望。 $\sigma$ 是股票的波动率，是收益率自然对数的标准差。

衍生品价格是股票价格 S 与时间 t 的函数，设为 f=f(S, t) ，那么

$d f=\left(\frac{\partial f}{\partial S} \mu^{*} S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial S^{2}} \sigma^{2} S^{2}\right) d t+\frac{\partial f}{\partial S} \sigma S d z\\$

也是用伊藤公式，只不过把所有的 dz 换成 dS，公式如下

$\mathrm{d} F(t, S(t))=\frac{\partial}{\partial x} F(t, S(t)) \mathrm{d} S(t)+\frac{\partial}{\partial t} F(t, S(t)) \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} x} F(t, S(t)) \mathrm{d} t\\$

（二）B-S 公式

u1s1我也不知道从上面这个式子是怎么推到下面这个公式的，姑且先放上来。

c 和 p 分别为欧式看涨和欧式看跌期权的价格

$\begin{array}{l} c=S(t) N\left(d_{1}\right)-K e^{-r_{f}(T-t)} N\left(d_{2}\right) \\ p=K e^{-r_{f}(T-t)} N\left(-d_{2}\right)-S(t) N\left(-d_{1}\right) \end{array}\\$

$\begin{array}{l} d_{1}=\frac{\ln (S(t) / K)+\left(r_{f}+\sigma^{2} / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_{2}=\frac{\ln (S(t) / K)+\left(r_{f}-\sigma^{2} / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}=d_{1}-\sigma \sqrt{T-t} \end{array}\\$