关于上域与值域（codomain vs. range）

传统的定义下对应域（codomain）实际上不是函数作为集合的固有属性，这里所谓的传统定义是指 ${f:A\to B}$ 定义为满足一些条件的 ${A\times B}$ 的子集，且笛卡尔积是用有序对定义的，且有序对也采用传统定义。考虑函数 ${f_1:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},x\mapsto x^2}$ 和 ${f_2:\mathbb{Z}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2}$，如果 $\mathbb{Z}$ 实现为 $\mathbb{R}$ 的子集，则集合论意义下 ${f_1=f_2}$（是两个相同的集合）。注意，定义域和值域是函数作为集合的固有属性，从 $f$（的集合实现）可以得出 $f$ 的定义域、值域。

@Ayachi Nene 请注意我们需要一个codomain覆盖range.codomain让映射“well-defined”，之后才会有range，用于描述这个映射的性质.

不需要预先指定对应域也可以定义什么是“函数”。考虑集合 $f$ 和集合 $A$，说“$f$ 是以 $A$ 为定义域的函数”，当且仅当如下条件都成立：

可以证明，若 $f$ 是以 $A$ 为定义域的函数且是以 $A'$ 为定义域的函数，则 ${A=A'}$。

可以证明，若 $f$ 是以 $A$ 为定义域的函数，则 $f$ 也是传统定义下 $A$ 到某集合 $B$ 的函数——该论证主要是（利用集合论公理）证明 $B$ 确实是一个集合，这里 $B$ 可以取$$\bigcup_{c\in\bigcup_{z\in f}{z}}{c}$$这一集合。

至于为什么教科书要那样定义，是“配搭高级”（pedagogy）和“‘正常人’的思维模式”，并且对选定集合元素的量化（如 ${\exists b\in B}$）比对所有集合的量化（即 $\exists b$，这里 $b$ 就不需要来自某个选定的集合，而可以是任何一个集合）处理起来舒服一些，不需要总是接触集合论底层的问题（即“这个东西是不是集合”的问题）。

可以考虑一种非传统的“函数”的定义，例如定义 ${f=(A,B,\mathsf{graph})}$ 为 ${A\to B}$ 的函数，若 $\mathsf{graph}$ 是传统定义下 ${A\to B}$ 的函数。相当于给它打了一个“类型标记”，让对应域成为函数作为集合的固有属性。