【线性代数笔记】秩为1的矩阵的性质

定理1 矩阵 A n × m A_{n\times m} An×m​的秩为 1 1 1 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ A = α β T A=\alpha\beta^T A=αβT，其中 α , β \alpha, \beta α,β分别为 n , m n,m n,m维非零列向量。

证明： 必要性：由等价标准型定理知存在可逆矩阵 P , Q P,Q P,Q使得 A = P [ 1 O O O ] Q A=P \begin{bmatrix}1&O\\O&O\end{bmatrix}Q A=P[1O​OO​]Q，其中 [ 1 O O O ] = [ 1 O ] n × 1 [ 1 O ] 1 × m \begin{bmatrix}1&O\\O&O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m} [1O​OO​]=[1O​]n×1​[1​O​]1×m​。 令 α = P [ 1 O ] n × 1 \alpha=P\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1} α=P[1O​]n×1​， β T = [ 1 O ] 1 × m Q \beta^T=\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m}Q βT=[1​O​]1×m​Q，则 A = ( P [ 1 O ] n × 1 ) ( [ 1 O ] 1 × m Q ) = α β T A=\left(P\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}\right)\left(\begin{bmatrix}1&O\end{bmatrix}_{1\times m}Q\right)=\alpha\beta^T A=(P[1O​]n×1​)([1​O​]1×m​Q)=αβT。 充分性：设 A = α β T A=\alpha\beta^T A=αβT，则由“矩阵越乘秩越小”知 r ( A ) ≤ min ⁡ { r ( α ) , r ( β ) } = 1 r(A)\le \min\{r(\alpha), r(\beta)\}=1 r(A)≤min{r(α),r(β)}=1。又 α , β \alpha, \beta α,β非零，故 A ≠ O A\ne O A​=O，因此 r ( A ) > 0 r(A)>0 r(A)>0， r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1。

定理2 矩阵 A n × n = α β T A_{n\times n}=\alpha\beta^T An×n​=αβT（ α , β ≠ 0 \alpha,\beta\ne0 α,β​=0），则： (1) ∃ \exists ∃常数 k k k使得 A 2 = k A A^2=kA A2=kA； (2) A A A的特征值为 β T α , 0 , 0 , … , 0 \beta^T\alpha,0,0,\dots,0 βTα,0,0,…,0； (3) 当且仅当 β T α ≠ 0 \beta^T\alpha \ne 0 βTα​=0时 A A A可以对角化。

证明： (1) A 2 = α β T α β T = α ( β T α ) β T A^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T A2=αβTαβT=α(βTα)βT，而 β T α \beta^T\alpha βTα是数，故可以提出来： A 2 = ( β T α ) α β T = ( β T α ) A A^2=(\beta^T\alpha)\alpha\beta^T=(\beta^T\alpha)A A2=(βTα)αβT=(βTα)A，令 k = β T α k=\beta^T\alpha k=βTα即得 A 2 = k A A^2=kA A2=kA。 (2) 由 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1知方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0有 n − 1 n-1 n−1个线性无关的特解，故 0 0 0为 A A A的特征值，其几何重数为 n − 1 n-1 n−1；又由代数重数大于等于几何重数知 0 0 0的代数重数至少为 n − 1 n-1 n−1。同时， A α = α β T α = α ( β T α ) = ( β T α ) α A\alpha=\alpha\beta^T\alpha=\alpha(\beta^T\alpha)=(\beta^T\alpha)\alpha Aα=αβTα=α(βTα)=(βTα)α，因此 β T α \beta^T\alpha βTα是 A A A的一个特征值， α \alpha α为对应的特征向量。所以 A A A的特征值为 β T α , 0 , 0 , … , 0 \beta^T\alpha,0,0,\dots,0 βTα,0,0,…,0（共 n − 1 n-1 n−1个 0 0 0）。 这个结论也表明： tr ( A ) = β T α \text{tr}(A)=\beta^T\alpha tr(A)=βTα。 (3) 当且仅当 β T α ≠ 0 \beta^T\alpha \ne 0 βTα​=0时，特征值 0 0 0的代数重数等于几何重数 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)，此时 A A A可对角化。换言之， A A A不可对角化当且仅当向量 α \alpha α， β \beta β正交。