正五边形的尺规作图

正五边形的尺规作图，等价于用尺规方法对一个圆周作五等分，其实质就是作出角度为 360° / 5 = 72° 的角. 

方法一：

在下图的三角形中，∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°，BD 为 ∠ABC 的角平分线，AF 是 BC 边上的高.

设 BC = 1，AC = b，易知 △ABC ∽ △BCD，于是有

AC : BC = BC : CD，即 b : 1 = 1 : (b - 1)，即有

b2 - b - 1 = 0

解这个方程，并舍去负根，得 b = (1 + 51/2) / 2，于是

cos 72° = cos C = FC : AC = 1/2 : (1 + 51/2)/2 = 1 : 1 + 51/2 = (51/2 - 1) / 4.

方法二：

设 x = cos 72°，则 cos 144° = 2x2 - 1，cos 288° = 2(2x2 - 1)2 - 1 = 2(4x4 - 4x2 + 1) - 1 = 8x4 - 8x2 + 1

由 288° = 360° - 72°，知 cos 288° = cos 72°，即有

8x4 - 8x2 + 1 = x，即

8x4 - 8x2 - x + 1 = 0           ①

8x4 - 8x2 - x + 1 = 8x2(x2 - 1) - (x - 1) = [8x2(x + 1) - 1]·(x - 1) = (8x3 + 8x2 - 1)·(x - 1)

由 x = cos 72° < 1，方程 ① 等价于

8x3 + 8x2 - 1 = 0               ②

若方程 ② 有有理数根，则必然在 {±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8} 中，经简单验证知 x = -1/2 是一个有理数解，但  cos 72° > 0，由整式除法可知 (8x3 + 8x2 - 1) / (2x + 1) = 4x2 + 2x - 1，即得到等价的方程：

4x2 + 2x - 1 = 0

于是 x = (-2 ± 201/2) / 8 = (-1 ± 51/2) / 4，舍去负根，即得

x = (51/2 - 1) / 4.

步骤一：

如下图所示，画出一个圆，记圆心为 O，半径 OA = 1；连接 AO 并延长，得到一条直径 AB；以 B 为中心在 AB 的延长线上截取点 C，使得 CB = BO，此时有 CO = 2；过点 C 做 CA 的垂线，并在该垂线上截取点 D，使得 CD = OA，连接 OD，并以 D 为圆心 CD 为半径作圆，交 OD 于点 E，此时 OE = 51/2 - 1.

 步骤二：

如下图所示，作 OE 的垂直平分线，截取 OE 的中点 H；再作 OH 的垂直平分线，截取 OH 的中点 K.

以点 O 为圆心，OK 为半径，作圆交 OA 于点 L，此时，OL = OK = cos 72° = (51/2 - 1) / 4. 

过点 L 作 OA 的垂线，交圆 OA 于点 M 和点 N，则 ∠ MOA = ∠NOA = 72°，即

点 M、O、N 即为正五边形的三个顶点，再分别以 M 和 N 为圆心，以 MA 为半径，可以从圆 OA 上截取出正五边形的另两个顶点. 如下图所示的绿色标注的正五边形：

当然，在作出 OK = cos 72° 后，也可以不把 OK 转到 OL，而直接延长 IJ 交圆 OA 于点 M 和点 N，同样可得下图所示的绿色标注的正五边形：