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本人根据读过的书,整理了以下数列通项公式的求法 【包括一些比较阴间的数列】 一:观察法(直接法) 【有些数列通项公式能直接看出来,此处略】 二:猜想+数学归纳 【写出数列的前几项,猜想出数列通项,并用数学归纳法证明,此处略】 三:公式法 已知Sn与an的关系,利用以下公式求数列通项 注意求出后考虑合并 四:累加法 五:累乘法 六: 对形如 (p≠1)的递推式,有以下两种方法。 ①:将n用n-1代,两式相减得 故{an+1 -an}为首项为a2-a1,公比为p的等比数列。 ②:待定系数构造等比数列【下文“十八”会说,此处略】 七: 对形如 (p≠1)的递推式,通项求法为 两边同除以得 令bn=a^n\p^n 再用累加法即可。 八:取倒数【基础】 对形如的递推式,其通项求法为 两边取倒数得 令bn=1\an,问题转换为“六”中所述。 九:常系数齐次线性递推数列 对k阶常系数齐次线性递推数列{an},已知前k项 (j=1,2,…,k) 其特征方程为 ①若特征方程有k个不同的根xi,(i=1,2,...,k),则其通项公式为, 其中Ci为待定常数,由初值条件ai=αi确定。 ②若特征方程有k1个重根,k2个重根,……,ks个重根,其中 则其通项公式为 其中Ci为待定常数,由初值条件ai=αi确定。 特别地,对二阶常系数齐次线性递推式 其特征方程为, ,两根为 ①α≠β,则 ②α=β,则 其中C1,C2由初始值a1,a2确定。 十:取对数 ①对形如的递推式,其通项求法为 两边取对数, 换元后转换成“六” 【如果p=1,则取底数m为10或e,若p≠1,则取底数m为p】 ②对形如 同上,两边取对数后换元转换成二阶常系数齐次线性递推式。 十一:不动点法 不动点法主要用于解决分式递推式。如对于形如 的递推式,其特征方程, 解出的两根α,β为该数列的不动点 ①α≠β,则, 为等比数列,其中公比由α,β和C,D确定。 解题步骤:(1)由特征方程求出不动点α,β。(2)列出an-α,an-β并相除,带入递推式求出公比,从而解出an ②α=β,则, 为等差数列 【解题步骤类似】 不仅仅是以上类型,不动点法主要处理非线性的递推式 例如 十二: 形如,的递推式,其通项求法为 构造函数,令 则递推式化为[两边同乘h(n+1)], 令得 接着使用累加法就能求出xn: 因此求得an: 其中h(n)可用累乘法求得: 有了“十二”的方法,我这里介绍取倒数的应用 十三:取倒数 形如的递推式 可以两边取倒数后换元1\an,就递推式就可“十二”的类型。 十四:配方法 对形如的递推公式,其通项求法为 配方得即 换元后两边取对数【或者迭代】即可。 十五:定理【一个不动点法的特例】 形如的递推式, 若其特征方程,有两根α,β,则有 接着两边取对数【或者迭代】换元后就行了。 十六: 形如的递推式,其通项求法为 将an乘过去, 将n用n+1代得: 即 因式分解得 故 这样数列递推式就化为二阶常系数齐次线性递推式。【后略】 十七: 如果数列递推公式中有出现的乘积形式,则可以考虑两边同时除以出现最多的项,或者除以出现最多的项乘某项 比如中an和an+2出现最多,通常考虑两边同除以an×an+2 下面举例说明 十八:待定系数法 待定系数法主要用于三种类型的递推式 ①形如的递推式 待定常数k,使得 对照系数就能解出k 之后过程略。 ②形如的递推式 待定常数x,y使得 之后过程略【还是换元构造等比数列】 ③形如的递推式 待定常数x,y,z使得 之后过程略。 接下来再介绍几种含根号的处理方法 十九:根号中为一次——换元根式 例如 令,代入并化简得 故 之后过程略。 二十:根号中为2次——平方去根号,运用韦达定理 例如 将5an移到左边,两边平方并化简: 下标n用n+1代得 故an与an+2为方程,的两根 由韦达定理得 此为二阶线性递推式,之后过程略。 二十一:将下标n用n+1代,将两式进行四则运算 【这种方法在上面已经经常出现,两式通常是作差或商,极少数时候作和,这里只举一个例子】 例如 两边平方得, 将n用n+1代得 两式相加得, 即 分母乘过去,转化成二阶线性递推式【后略】 二十二:三角换元/代换 这种方法主要观察递推式的形式是否符合三角函数【反三角函数】的和差角公式,倍角公式,万能公式等等。比如含√1-an²就考虑换元an=cosθ或sinθ,含√1+an²就考虑换元an=tanθ,含√an²-1就考虑换元an=secθ等等 例如【这里只举一个例子】 显然,a0=sin(π/2²), 用一次倍角公式,得到 由归纳法可证 二十三:含取整符号的递推式的化简 利用高斯函数的基本的性质 例如 由高斯函数基本性质得【注意右边那个等号这里取不到】 即 两边同乘4-√11并化简得 故 代入递推式就能化为二阶线性递推式,后略。 最后介绍一个可以求通项的递推数列 二十四: 对数列,其通项求法如下 ①若|a1|≤2,令a1=2cosα 由归纳法可证明【用倍角公式直接套】 ②当|a1|>2时,令a1=t+1\t 由归纳法可证明 当然对于第一种情况|a1|≤2,还有一种换元方法 别问我为什么不写了,因为专栏图片限制写不下了! 以上就是全部内容 【公式全是我手打的,打了大半天(累死)】因为图片插不进了所以分割线都删了,过程尽量精简了,请见谅! 有帮助的话记得三连支持一下! |
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