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信号与系统 Matlab 利用DFT分析离散信号频谱
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应用离散傅里叶变换(DFT)，分析离散信号x[k]。根据信号傅里叶变换建立的时域与频域之间的对应关系，可以得到有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)与四种确定信号傅里叶变换的之间的关系，实现由DFT分析其频谱。 利用FFT分析信号 (1) 确定DFT计算的参数； (2) 进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。 答：信号下x[k]基频 Matlab程序如下： N=32; k=0:N-1; x=cos(3*pi*k/8); X=fft(x); subplot(2,1,1); stem(k-N/2,abs(fftshift(X))); ylabel('Magnitude'); xlabel('Frequency (rad)'); subplot(2,1,2); stem(k-N/2,angle(fftshift(X))); ylabel('Phase'); xlabel('Frequency (rad)');
(2)由幅频特性，X[m]在m=6和-6处有值，幅度为16，可以算出基频 2.利用FFT分析信号 答：(1)信号无限长，因此需要对其进行截短。该序列单调衰减，当k>=30时，序列已几乎衰减为0，因此只取序列在区间[0，30]上的数值进行分析。 Matlab程序如下： k=0:30; k1=-15:15; x=0.5.^k; X=fft(x); subplot(2,1,1); plot(k-15,abs(fftshift(X)),k1,(1+0.25-cos(k1*pi/15)).^(-0.5),'r'); ylabel('Magnitude'); xlabel('Frequency (rad)'); subplot(2,1,2); plot(k-15,angle(fftshift(X))); ylabel('Phase'); xlabel('Frequency (rad)');
 ，利用FFT分析其频谱。如何选取FFT的点数N？此3个频率分别对应FFT计算结果X[m]中的哪些点？若选取的N不合适，FFT计算出的频谱X[m]会出现什么情况？ 答： 三个余弦信号对应的基波周期分别为N1=32，N2=32，N3=4，最小公共周期N=32,可选取FFT的点数32。matlab程序代码如下：
N=32; k=0:N-1;
x=cos(7*pi*k/16)+cos(9*pi*k/16)+cos(pi*k/2);
X=fft(x);
subplot(2,1,1);
stem(k-N/2,abs(fftshift(X)));
ylabel('Magnitude');
xlabel('Frequency (rad)');
subplot(2,1,2);
stem(k-N/2,angle(fftshift(X)));
ylabel('Phase');
xlabel('Frequency (rad)');
(2)对x[k]补零至256点后计算FFT，绘制出频谱图如下: (3)若选用非矩形窗(主要有汉宁窗、哈明窗、布拉克曼窗和凯塞窗)计算FFT，可以分辨出其中两个频率。 (4)可以提高序列样点数，以下是对x[k]作300点FFT得到得频谱图：  利用FFT分析下列信号的幅频特性，频率范围为 ，N=500点。 (1)y[k]=x[2k] (2) g[k]=x[4k] (3) 若将上述x[k]乘以cos(pk/2) ，重做(1)和(2)。 答：(1)
k=-125:124;
y=(abs(2*k) |
的频谱；
，可以确定基波周期N=16，为显示k=0,1,…31，所以取N=32。
，与理论值相符。若选取N不是16或16的整数倍，将发生频谱泄露现象。
的频谱； (1) 确定DFT计算的参数； (2) 进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。
(2)幅频图中蓝线表示计算中，红线表示理论值，可以看出计算值与理论值基本一致，但存在一定误差。因截取序列长度M=30时，该序列几乎衰减为0，且取作FFT点数N>=M，所以计算值与理论值差别不大。若产生较大误差，可能是截取信号长度过短，可以截取较长时间的样点进行分析，或者在截取的离散序列之后补零，得到一个更长的序列，这样可以增加频谱图的更多细节。
三个基频
，
，
分别对应频谱图中m=±7，±9，±8这三组点，幅值均为16。若N选取不合适（不是32或32的整数倍），将出现杂频，频谱图X[m]中不能完全分辨出三个频率。
对x[k]作64点FFT，出现杂频，不能分辨出两个频率。
对时域序列补零至256点后，增加了频谱图中更多的细节，但是没有提高频率分辨率，不能分辨出两个频率。
可以分辨出两个频率。【本文地址】