定积分

负号和奇偶性 负号不影响函数的奇偶性 奇函数与偶函数的加减乘除后的奇偶性 一般地，除了既是奇函数又是偶函数的函数（如：y=0，x∈R）外，中学数学里常见的奇函数与偶函数的加、减、乘、除后的奇偶性，可简单地表示如下：

（1）奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数，奇函数±偶函数=非奇非偶函数，偶函数±奇函数=非奇非偶函数；

【注】上面的性质特点可以简单地概括为：“同性”加减，奇偶不变；“异性”加减，非奇非偶。 （2）奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数；

【注】上面的性质特点可以简单地概括为：“同”乘为“偶”，“异”乘为“奇”。 （3）奇函数÷奇函数=奇函数/奇函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数/偶函数=偶函数，奇函数÷偶函数=奇函数/偶函数=奇函数，偶函数÷奇函数=偶函数/奇函数=奇函数

【注】上面的性质特点可以简单概括为：“同”除为“偶”，“异”除为“奇”。 绝对值的奇偶性 奇函数的绝对值是偶函数。 偶函数的绝对值是偶函数。 【知识补充】 1、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”，则一定有f(0)=0。因此，如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。

2、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”，则g(0)不一定为0。因此，如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。

3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数，y=0（定义域关于原点对称）。例：1、y=0，x∈R；2、y=0，x∈(-1,1)等。

【注】高中数学里，“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。 4、常见的非奇非偶函数

（1）奇函数与偶函数的和。例：y=x+1，y=x+x^2;

（2）指数函数、对数函数。例：y=a^x（a>0且a≠1），y=lnx，y=lgx。

（3）某些幂函数。例：y= x \sqrt{x} x ​（注：y=“x的算术平方根”）。 5、复合函数的奇偶性

设复合函数u(x)=f(g(x))，定义域非空且关于原点对称，则有：

（1）f(x)、g(x)都为奇函数时，u(x)=f(g(x))为奇函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。

（2）f(x)、g(x)都为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（3）f(x)为奇函数，g(x)为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（4）f(x)为偶函数，g(x)为奇函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)。

【注】根据上面四种复合函数的奇偶性，可以概括地得到如下结论：只有内外层的所有函数都为奇函数时，复合后的函数才为奇函数。否则，复合后的函数都是偶函数。

ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) \ln(x+\sqrt{1+x^2}) ln(x+1+x2 ​) 证明：

ppppppppppppppppppppppppp

例题：

判 断 f ( x ) = ∫ 0 x e − 1 2 t 2 d x 判断\large f(x)=\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{2}t^2}{\mathrm d}x 判断f(x)=∫0x​e−21​t2dx 的 奇 偶 性 的奇偶性 的奇偶性。 解：

由 f ( x ) = ∫ 0 x e − 1 2 t 2 d x f(x)=\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{2}t^2}{\mathrm d}x f(x)=∫0x​e−21​t2dx 知 f ( − x ) = ∫ 0 − x e − 1 2 t 2 d x = u=-t ∫ 0 x e − 1 2 u 2 ( − d u ) = − ∫ 0 x e − 1 2 t 2 d t = − f ( x ) f(-x)=\int_{0}^{-x}e^{-\frac{1}{2}t^2}{\mathrm d}x\xlongequal{\text{u=-t}}\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{2}u^2}({-\mathrm d}u)=-\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{2}t^2}{\mathrm d}t=-f(x) f(−x)=∫0−x​e−21​t2dxu=-t ∫0x​e−21​u2(−du)=−∫0x​e−21​t2dt=−f(x)

f ( x ) = A sin ⁡ ( ω x + φ ) + b ， \large f(x)=A\sin (\omega x+ \varphi )+b， f(x)=Asin(ωx+φ)+b，最小正周期 ： T = 2 π ∣ ω ∣ ：\large T=\frac{2\pi}{|\omega|} ：T=∣ω∣2π​

圆的标准方程： ( x − a ) ² + ( y − b ) ² = r ² (x-a)²+(y-b)²=r² (x−a)²+(y−b)²=r² 其中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。