大学物理复习

电流——大量电荷有规则地定向运动形成电流 电流强度——单位时间内通过某截面地电量

I = d q d t I=\frac{dq}{dt} I=dtdq​方向规定为正电荷移动的方向 电流强度只能在整体上描述导体内电流的大小，当粗细不均匀或是大块导体时，电流强度常常不能反应电流分布的，为此引入电流密度 电流密度矢量 j ⃗ = d I d S ⊥ n ⃗ \vec j=\frac{dI}{dS_\perp}\vec n j ​=dS⊥​dI​n 方向为该点场强方向 物理意义：导体中某点的电流密度等于通过该点的垂直于电场方向的单位截面积的电流强度。 电流密度与强度的关系 由 d I = j d S ⊥ = j c o s θ d S = j ⃗ ⋅ d S ⃗ dI=jdS_\perp=jcos\theta dS=\vec j\cdot d\vec S dI=jdS⊥​=jcosθdS=j ​⋅dS 可以得到 I = ∫ s j ⃗ ⋅ d S ⃗ I=\int_s\vec j\cdot d\vec S I=∫s​j ​⋅dS 物理意义：穿过某截面的电流强度为电流密度矢量穿过该截面的通量

电流的连续性方程： ∮ s j ⃗ ⋅ d S ⃗ = − d q d t \oint_s\vec j\cdot d\vec S=-\frac{dq}{dt} ∮s​j ​⋅dS =−dtdq​ 其意义为：在有电荷流动的导体内任区一闭合曲面S，dt时间内通过S向外净流出的电荷量应等于同一段时间内S内电荷量的减少。 进一步引出稳恒电流的概念

稳恒电流：导体各处的电流密度不随时间改变，即 ∮ S j ⃗ ⋅ S ⃗ = 0 \oint_S\vec j\cdot \vec S=0 ∮S​j ​⋅S =0

在稳恒电流的情况下，导体内的电荷分布不随时间改变，并因此产生不随时间改变的电场我们称为稳恒电场，有 ∮ l E ⃗ ⋅ d l ⃗ = 0 \oint _l\vec E\cdot d\vec l=0 ∮l​E ⋅dl =0 静电场和稳恒电场比较

非静电力：能把正电荷从电势较低点送到电势较高点的作用力称为非静电力，记为 F k F_k Fk​

电动势 ε \varepsilon ε：把单位正电荷从负极经过电源内部移到正极是，电源中非静电力所做的功 ε = ∫ − + E ⃗ k ⋅ d l ⃗ \varepsilon=\int_-^+\vec E_k\cdot d\vec l ε=∫−+​E k​⋅dl

运动电荷产生磁场，磁场对运动电荷有磁力作用。 因此： 电荷的运动是一切磁现象的根源

磁场对外有一些重要表现： 1、磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力作用 2、载流导体在磁场中移动时，磁力对载流导体做功 对线圈有： P ⃗ m = I 0 Δ S n ⃗ \vec P_m=I_0\Delta S\vec n P m​=I0​ΔSn 其中 P ⃗ m \vec P_m P m​为磁矩 磁感应强度定义一：磁感应强度的量值为有单位磁矩的实验线圈所受到的最大磁力矩 B = M m a x P m B=\frac{M_{max}}{P_m} B=Pm​Mmax​​ 磁感应强度定义二 B = F m a x q 0 v B={F_{max}\over q_0v} B=q0​vFmax​​ 大小为小磁针在该点的N极指向 磁感应强度定义三 B = d Φ m d S ⊥ B={d\Phi_m\over dS_\perp} B=dS⊥​dΦm​​方向为磁力线的切向 磁力线的一些性质：

Φ m = ∮ B ⃗ ⋅ d S ⃗ = 0 \Phi_m=\oint \vec B \cdot d\vec S=0 Φm​=∮B ⋅dS =0也即穿过任意闭合曲面的磁通量为0

毕奥–萨法尔定律：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比， 而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。 d B = k I d I s i n α r 2 dB=k{IdIsin\alpha\over r^2} dB=kr2IdIsinα​

设电流元为 I d l ⃗ Id\vec l Idl 则： d B = μ 0 4 π I d l s i n α r 2 dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2} dB=4πμ0​​r2Idlsinα​ 其中 μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 T m A − 1 \mu_0=4\pi\times10^{-7}TmA^{-1} μ0​=4π×10−7TmA−1转化为向量形式则为： d B ⃗ = μ 0 4 π I d l ⃗ × d r ⃗ r 3 d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec l\times d\vec r}{r^3} dB =4πμ0​​r3Idl ×dr ​ 而对于一段载流导线 B ⃗ = ∫ d B ⃗ = μ 0 4 π ∫ I d l ⃗ × r ⃗ r 3 \vec B=\int d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec l \times\vec r}{r^3} B =∫dB =4πμ0​​∫r3Idl ×r ​

据 l = v t , I = d q d t l=vt,I=\frac{dq}{dt} l=vt,I=dtdq​可将稳恒电流的磁场强度公式转化为： B ⃗ = μ 0 4 π q v ⃗ × r ⃗ r 3 \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v \times \vec r}{r^3} B =4πμ0​​r3qv ×r ​

有限长直导线的磁场 B = μ 0 I 4 π a ( c o s θ 1 − c o s θ 2 ) B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\theta_1-cos\theta_2) B=4πaμ0​I​(cosθ1​−cosθ2​) 直导线延长线上的磁场强度为 B = 0 B=0 B=0

圆形电流轴线上的磁场 B x = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + x 2 ) 3 2 B_x=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^\frac{3}{2}} Bx​=2(R2+x2)23​μ0​IR2​ 特别地 当x=0时 B = μ 0 I θ 4 π R B=\frac{\mu_0I\theta}{4\pi R} B=4πRμ0​Iθ​

载流直螺线管内部磁场 B = μ 0 2 n I ( c o s β 2 − c o s β 1 ) B=\frac{\mu_0}{2}nI(cos\beta_2-cos\beta_1) B=2μ0​​nI(cosβ2​−cosβ1​)

在静电场中，有环路定理 ∮ E ⃗ ⋅ d l ⃗ = 0 \oint \vec E\cdot d\vec l=0 ∮E ⋅dl =0 而在磁场中，则有 ∮ B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 I \oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I ∮B ⋅dl =μ0​I 引出对静电场和稳恒电场的比较

长直载流螺线管的磁场分布： B = { μ 0 n I 内 0 外 B=\begin{cases}\mu_0nI;内\\ 0;外\end{cases} B={μ0​nI0​内外​

环形载流螺线圈的磁场分布 B = { μ 0 N I 2 π r 内 0 外 B=\begin{cases}\frac{\mu_0NI}{2\pi r};内\\0;外\end{cases} B={2πrμ0​NI​0​内外​ ∵ n = N 2 π R 1 \because n=\frac{N}{2\pi R_1} ∵n=2πR1​N​ ∴ b ≈ { μ 0 n I 内 0 外 \therefore b\approx\begin{cases}\mu_0nI;内\\0;外\end{cases} ∴b≈{μ0​nI0​内外​

无限长载流导线平行排列构成的无限大薄板的磁场分布 B = μ 0 n I 2 B={\mu_0nI\over2} B=2μ0​nI​

安培定律：电流元在磁场中受到的大小为 d F ⃗ = I d l ⃗ × B ⃗ d\vec F=Id\vec l\times\vec B dF =Idl ×B 方向沿着右手螺旋定则

载流导线受到的磁力： F = ∫ d F ⃗ = ∫ L I d l ⃗ × B ⃗ F=\int d\vec F=\int_LId\vec l\times\vec B F=∫dF =∫L​Idl ×B 载流直导线受到的磁力： F = B I L s i n θ F=BILsin\theta F=BILsinθ 磁场对载流线圈的作用 M = 2 ∗ F ∗ 1 2 d = B I l 2 l 1 s i n φ = p ⃗ m × B ⃗ M=2*F*\frac{1}{2}d=BIl_2l_1sin\varphi=\vec p_m\times\vec B M=2∗F∗21​d=BIl2​l1​sinφ=p ​m​×B 如载流线圈有N匝 则 p ⃗ m = N I S n ⃗ 则\vec p_m=NIS\vec n 则p ​m​=NISn

载流导线在磁场中运动时，磁力做的功： A = F Δ x = B I L Δ x = I Δ Φ m A=F\Delta x=BIL\Delta x=I\Delta\Phi_m A=FΔx=BILΔx=IΔΦm​ 载流线圈在磁场中转动时磁力矩做的功 d A = − M d φ = I d Φ m dA=-Md\varphi=Id\Phi_m dA=−Mdφ=IdΦm​ 不难证明，对于任意闭合回路均有： A = ∫ ϕ m 1 ϕ m 2 I d Φ m A=\int_{\phi_{m_1}}^{\phi_{m_2}}Id\Phi_m A=∫ϕm1​​ϕm2​​​IdΦm​ 当磁矩与磁场方向间夹角为 φ \varphi φ时磁矩与磁场的互相作用能为： W m = − P m B c o s φ = − P ⃗ m ⋅ B ⃗ W_m=-P_mBcos\varphi=-\vec P_m\cdot \vec B Wm​=−Pm​Bcosφ=−P m​⋅B

运动电荷在磁场中受到的磁场力 f ⃗ m = q v ⃗ × B ⃗ \vec f_m=q\vec v\times\vec B f ​m​=qv ×B

U H = R H I B b = 1 n q I B b U_H=R_H\frac{IB}{b}=\frac{1}{nq}\frac{IB}{b} UH​=RH​bIB​=nq1​bIB​