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多元函数微积分学
一、多元函数微分学1.1、多元函数微分学概念连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义多元函数可微、可偏导、连续的关系复合函数求偏导(链式法则)、全微分的计算隐函数求偏导(隐函数存在定理、等式两边求导法)
1.2 方向导数、梯度的计算计算梯度:计算方向导数:
1.3 法向量、方向余弦、梯度1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)1.5 多元函数极值问题无条件极值条件极值(拉格朗日乘数法)限定条件的最值问题(驻点+偏导不存在+每个边界)
二、多元函数积分学:先用对称性质2.0、积分的对称性(奇偶对称性与轮换对称性)1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性2.第二型曲线曲面积分的对称性
2.1、一重积分:对f(x)积分,被积区域是坐标轴1.物理意义:2.定积分的应用:1、定积分定义2、旋转体的体积3、旋转体的表面积
3.重积分的应用
2.2、二重积分:对f(x,y)积分,被积区域是平面1.计算方法:2.物理意义
2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分,被积区域是立体1.计算方法:先积的变量转化为后积的变量1)先一后二法:投影法2)先二后一法:切苹果3)球面坐标系
2.物理意义:
2.4、第一类曲线积分:1.定义:2.物理意义:3.计算方法:ds转化为dx,再定积分
2.6、第一类曲面积分:1.定义:2.物理意义:3.计算方法:ds转化为dxdy,再二重积分
2.5、第二类曲线积分:对矢量的第一类曲线积分1.定义:2.物理意义:3.基本计算方法:dx与dy转化为dt,转化到定积分4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分5.空间曲线的斯托克斯公式:转化到某类曲面积分注:
2.7、第二类曲面积分:对矢量的第一类曲面积分1.定义2.物理意义:3.基本计算方法:三个化为一个(方向余弦的关系),换元转化到二重积分4.高斯公式:转化到三重积分
一、多元函数微分学
1.1、多元函数微分学概念
连续、可偏导、可微、方向导数存在的定义
多元函数可微、可偏导、连续的关系
可微=>可偏导(可导指两个偏导数存在,反之不成立,例如定义域只在两个坐标轴) 可微=>连续(反之不成立,例如墙角的折叠的面,连续但不可微) 复合函数求偏导(链式法则)、全微分的计算 隐函数求偏导(隐函数存在定理、等式两边求导法)隐函数存在定理可以通过把一个变量看作其他变量的函数证明 1.2 方向导数、梯度的计算物理意义: 一元函数求导数是描述在线上的点在坐标轴方向的变化率 二元函数求偏导数是描述面上的点在坐标轴方向的变化率 二元函数求方向导数描述面上的点沿着任意一个指定方向的变化率 方向导数标量,描述沿着某个方向的变化率 梯度矢量,描述多元函数变化率最大的方向 综上:沿着梯度矢量的方向,方向导数标量取最大值 计算梯度:用来计算方向导数的梯度不能化简! 梯度函数:通过标量方程求偏导数组成的矢量函数, 某点的梯度:是一个确定的矢量,梯度函数带入点的坐标(二维或三维) 计算方向导数:影响大小因素——点的坐标即梯度,单位方向向量(方向余弦) 方向导数函数:梯度函数 点积 方向余弦 某点、某方向的方向导数:该点梯度 点积 某方向方向余弦 某点方向导数最大值:该点梯度 点积 沿梯度方向余弦=梯度模 1.3 法向量、方向余弦、梯度圆锥举例——曲面上点梯度与曲线的法向量的关系: 平面曲线:二元方程 y 2 + x 2 = 1 y^2+x^2=1 y2+x2=1 空间曲面:二元函数 f = x 2 + y 2 f=x^2+y^2 f=x2+y2,三元方程 f − y 2 − x 2 = 0 f-y^2-x^2=0 f−y2−x2=0 空间曲面求梯度 δ ( f ) δ ( x ) i + δ ( f ) δ ( y ) j \frac{\delta(f)}{\delta(x)}i+\frac{\delta(f)}{\delta(y)}j δ(x)δ(f)i+δ(y)δ(f)j 平面曲线是空间曲面的一个特例,一条等高线,垂直等高线变化最快 曲面上的点增长最快的方向,投影就是曲线的法向 知乎:梯度与面的法向量的关系 1.4 梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot)梯度、散度、旋度专题 1.5 多元函数极值问题 无条件极值 条件极值(拉格朗日乘数法)解拉格朗日乘数法的方程:相似的因式作差 得到所以可能的极值点,然后自己带入判断是极大还是极小值 限定条件的最值问题(驻点+偏导不存在+每个边界) 二、多元函数积分学:先用对称性质 2.0、积分的对称性(奇偶对称性与轮换对称性) 1.定积分、二重、三重、第一型曲线曲面积分的对称性被积函数的奇偶对称性是关于某个变量的,例:f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x) 被积区域的对称性是关于某个轴(面)可以翻转过来,例:[-1,1]的区域 eg:y=|x|在-1到1上积分,等于两倍的在[0,1]上积分 2.第二型曲线曲面积分的对称性如果被积变量中不含那个积分变量,那肯定没有对称性 其他与前面结论相反:偶函数是0.奇函数是2倍 2.1、一重积分:对f(x)积分,被积区域是坐标轴 1.物理意义:平面上的直线或曲线与坐标轴围成的面积 2.定积分的应用: 1、定积分定义 2、旋转体的体积
3、旋转体的表面积 3.重积分的应用 形心或质心、转动惯量 2.2、二重积分:对f(x,y)积分,被积区域是平面 1.计算方法:1.直角坐标系:穿线法 2.极坐标系:注意半径的起始大小,对于圆心不在原点的圆同样适用 3.换元法(雅克比行列式) 2.物理意义 1:求密度不均匀的面的质量(f(x,y)表示密度) 2:求以曲面为顶的柱体的体积(f(x,y)表示高度) 注1:被积函数为1,就是被积区域的面积 或 高度为1的柱体体积 注2:二重积分上限大于下限,二次积分上限不一定大于下限 2.3、三重积分: 对f(x,y,z)积分,被积区域是立体 1.计算方法:先积的变量转化为后积的变量1.直角坐标系:转换为二重积分 1)先一后二法:投影法直角坐标系 “先一”: 上下限是x、y表达式,积分结果只含x、y " 后二":投影的二重积分,可能用到极坐标 柱面坐标系:先一后二的变形 ( x , y , z ) 变 成 ( θ , r , z ) (x,y,z)变成(\theta,r,z) (x,y,z)变成(θ,r,z) “先z”:积分上下限是两个面z=z2(x,y),z=z1(x,y)用(r, θ \theta θ) ρ 与 θ 适 用 于 g x 2 + y 2 或 者 被 积 区 域 是 柱 体 \rho与 \theta 适用于g\sqrt{x^2+y^2}或者被积区域是柱体 ρ与θ适用于gx2+y2 或者被积区域是柱体 2)先二后一法:切苹果“先二”: ( x , y , z ) 变 成 ( z , θ , r ) (x,y,z)变成(z,\theta,r) (x,y,z)变成(z,θ,r) 被积函数含x、y,可能用到极坐标上限变成含z的式子(z当成常数) 被积函数是1,"先二"就变成每层苹果的面积可以由含z的式子代替!! “后一”:z上下限是常数的定积分 3)球面坐标系r 与 θ 与 ϕ 适 用 于 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) 或 者 被 积 分 区 域 是 球 体 、 锥 体 r与 \theta 与\phi 适用于f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})或者被积分区域是球体、锥体 r与θ与ϕ适用于f(x2+y2+z2 )或者被积分区域是球体、锥体 2.物理意义:求密度不均匀的立体的质量(f(x,y,z)表示密度) 注:被积函数为1,就是被积区域的体积 2.4、第一类曲线积分: 1.定义:对弧长的曲线积分,被积区域是无方向曲线L,微元ds 2.物理意义:给平面曲线的密度f(x,y)或空间曲线的密度f(x,y,z),求曲线的质量 注:被积函数为1,求曲线的弧长 3.计算方法:ds转化为dx,再定积分参数方程换元,弧微分ds=勾股定理dx与dy 空间曲线如何转化为参数方程:令某个变量为t,计算剩下两个变量如何用t表示 2.6、第一类曲面积分: 1.定义:对面积的曲面积分,被积区域是无方向曲面S,微元dS 2.物理意义:对给定空间曲面的密度f(x,y,z),计算该曲面的质量。 注:被积函数为1就是求曲面的面积 3.计算方法:ds转化为dxdy,再二重积分曲面微分dS 乘以 曲面上一点的在z轴的方向余弦=平面微分dxdy z=z(x,y)的方向余弦cos r通过法向量得到 2.5、第二类曲线积分:对矢量的第一类曲线积分 1.定义:对坐标的曲线积分是对矢量的第一类曲线积分 被积区域分解到坐标轴,被积函数的坐标轴分量分别积分 2.物理意义:力的矢量拉着物体沿着曲线运动所做的功,将沿切向的小段位移分解到垂直的坐标轴上;同时将小段作用力也分解到垂直的坐标轴上,坐标轴分别作积分再求和得到总功。已知路径曲线方程,已知x,y两个方向的力分量或者x,y,z三个方向的力的分量,求功(有方向) 3.基本计算方法:dx与dy转化为dt,转化到定积分参数方程换元 4. 平面曲线的格林公式:转化到二重积分1.封闭第二类平面曲线积分转化到二重积分 2.条件:平面封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数 5.空间曲线的斯托克斯公式:转化到某类曲面积分1.封闭第二类曲线积分(=封闭对矢量的第一类曲线积分)=旋度矢量的第一类曲面积分=第二类曲面积分 2.条件:空间封闭曲线、正向、具有一阶连续偏导数 转化为对矢量的第一类曲面积分: 通过右手定则选定一个面的方向,称为这个曲面的正向 然后转化为第二类曲面积分的计算 转化为第二类曲面积分: 注:1.封闭的曲线满足使用格林公式或斯托克斯公式可以使用这两个公式 2.不封闭曲线如果满足积分与路径无关条件好算(本质还是格林或斯托克斯公式) 题型:补线法、挖孔法、补面法、挖洞法 2.7、第二类曲面积分:对矢量的第一类曲面积分 1.定义点在直线上与点在某个面上有不同的价值 1.对坐标的曲面积分,被积区域分解到坐标平面 面的两个相反的法向量对应面的不同侧 2.物理意义:在曲面上每一点的法向量与速度矢量做点积得到通量 给x,y,z分别方向上的流速,告诉你面方程,指定方向,求流量 3.基本计算方法:三个化为一个(方向余弦的关系),换元转化到二重积分注: 1.如果计算三个投影,不如利用方向余弦转换为计算一个投影 2.流量结果可正可负: 通过题干条件,确定曲面是哪一侧 根据曲面方向(法向量)与坐标轴夹角cosr,决定添加正负号 eg: 方向向量与坐标轴的三个正向都相同,则肯定为正 方向向量与坐标轴的三个正向都相反,则肯定为负 投影到xoy面,则判断这一侧的法向量朝上为正 4.高斯公式:转化到三重积分1.封闭第二类曲面积分(=封闭对矢量的第一类曲面积分)=散度的三重积分 2.空间闭区域;具有一阶连续偏导数;曲面外侧 注: |
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