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对数函数（复数）
贡献者： addis 本文处于草稿阶段。 预备知识 指数函数（复数），反函数（高中）1我们先给出复数对数函数的一种定义 定义 1 对数函数（复数）对数函数 $\log z$ 是从任意非零复数到复数的映射 $f:\mathbb C^*\to \mathbb C$，定义为 \begin{equation} \log z = \log \left\lvert z \right\rvert + \mathrm{i} \arg z~. \end{equation} 其中 $\arg(z)$ 是 $z$ 的辐角，值域为 $(-\pi, \pi]$。这样定义的函数值叫做 $\log$ 函数的主值（principal value）。注意 $\log 0$ 在复数域中没有定义，也有时候说 $\log 0 = -\infty$（注意 $\pm\infty \notin \mathbb C$）。 结合复数指数函数的定义，恒有 \begin{equation} \exp\left(\log z\right) \equiv z \qquad (z \in \mathbb C^*)~. \end{equation} \begin{equation} \log \mathrm{e} ^z \equiv z \qquad ( \operatorname{Re} [z]\in\mathbb R\ \text{ and }\ \operatorname{Im} [z]\in(-\pi, \pi])~. \end{equation} 所以在有限的范围内，$\exp z$ 和 $\log z$ 互为反函数。现在我们也可以用 $\log z$ 来表示复数的辐角 \begin{equation} \arg z = \operatorname{Im} \log z~. \end{equation}1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
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