线性代数：复向量空间

概要：复向量空间是以复数为域的向量空间，复化可以把一个实向量空间拓展成一个复向量空间。

注：在往下阅读之前，你需要知道什么是张量积，可以参考《张量》（之后应该会移动到《张量积》）。

对复数集感兴趣的读者可以看看在小熊慢慢说的这篇文章，作者以介绍简谐运动为契机，科普了欧拉公式和复数的定义。而这里我会从代数的角度出发解释复数域的性质。

我们称域\mathbb{F}为代数闭域，当它满足其上任意一个非常数的（一元）多项式f \in \mathbb{F}[\text{x}]，都存在元素x \in \mathbb{F}，使得f(x) = 0，换言之\text{x} = x是f的一个根。

实数域\mathbb{R}不是代数闭域，因为其上存在无实根的非常数多项式

a \text{x}^2 + b \text{x} + c, \\

其中a \neq 0，判别式\Delta = b^2 + 4 a c < 0，比如\text{x}^2 + 1恒大于零（任何无实根的多项式都是这种二次多项式的乘积）；我们把复数域\mathbb{C}定义为实数域\mathbb{R}的代数闭域，此时\text{x}^2 + 1有两个根，我们记做\text{i}和-\text{i}。

\text{i}和-\text{i}的选取并没有什么必然性，因此复数上存在一个特别的运算，被称为“复共轭”，记作\overline{a + \text{i} b} = a - \text{i} b。

作为一个实向量空间，\mathbb{C}的维度是2，我们可以取\{1, \text{i}\}为它的一个基。我们用\langle \dots \rangle来表示向量空间意义下的“生成”，即张成，我们有

\mathbb{C} = \langle 1, \text{i} \rangle_\mathbb{R}. \\

由于复数域\mathbb{C}本身也是一个域，我们也可以定义复向量空间。特别的，复向量空间V的实维度是复维度的两倍，记做

\dim_\mathbb{C}(V) = 2 \dim_\mathbb{R}(V) \\

注：本征，eigen。

让我们考虑复向量空间V到它自己的复线性映射f: V \to V，如果存在c \in \mathbb{C}以及非零v \in V【注】满足

f(v) = c \cdot v, \\

我们就称c为f的一个本征值，v为以c为本征值的本征向量；

【注】：本征向量不能为零向量，但是本征值是可以为零的。

如果v, v' \in V都是以c为本征值的本征向量，那么它们的（非零）复线性组合也是一个以c为本征值的本征向量，即

\begin{aligned} f(\lambda v + \lambda' v') &= \lambda f(v) + \lambda' f(v') \\ &= \lambda c \cdot v + \lambda' c \cdot v' \\ &= c \cdot (\lambda v + \lambda' v'). \end{aligned}\\

因此对于本征值c，我们记V_c为全体以c的本征值的本征向量，以及零向量，的集合，它是V复向量子空间。如果c不是本征值，那么我们记V_c = \{\textbf{0}\}。

非零向量对于不同的c, c' \in \mathbb{C}，V_c \cap V_{c'} = \{\textbf{0}\}，因为对任意的v \in V_c \cap V_{c'}，

c v = f(v) = c' v \\

因此我们有

\{\textbf{0}\} \subseteq \bigoplus_{c \in \mathbb{C}} V_c \subseteq V \\

对于有限维度复向量空间来说，\bigoplus_{c \in \mathbb{C}} V_c \neq \{\textbf{0}\}，换言之，f一定存在本征值，即存在本征向量。证明思路是，f有本征值c意味着，等式

(c \cdot \text{id}_V - f)(v) = \textbf{0} \\

存在非零向量v的解，换言之c \cdot \text{id}_V - f的行列式为零；因此我们定义函数\chi_f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}【注】

\chi_f(c): = \det(c \cdot \text{id}_V - f) \\

由于V是有限维度的，f可以写成矩阵的形式，因此\chi_f是一个多项式，因此根据\mathbb{C}的代数闭性，\chi_f一定有根。

【注】：这样定义\chi_f而不定义成\det(f - c \cdot \text{id}_V)的原因是，此时多项式\chi_f的最高次项系数一定是1，这是一个好习惯。

另一方面，如果\bigoplus_{c \in \mathbb{C}} V_c = V，我们就称f是可对角化的（diagonalizable），它等价于在合适的基下，f可以写成一个对角矩阵。

在线性代数（有限维度）和泛函分析（无限维度）中，谱定理给出了f可对角化的充分条件。

注：复化，complexification。

实向量空间V的复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}是一个包含V的复向量空间【注】，其中的元素被称为复化向量。

【注】：这里的包含是指在典范（canonical）同构的V \to V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{R}的意义下包含。我会在未来的《范畴论》中详细描述关于典范同构的话题。

最简单的例子，\mathbb{C}是\mathbb{R}的复化，记作\mathbb{C} = \mathbb{R} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}。

我们把V \subseteq V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}的元素视作复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}的实值向量，而\text{i} V: = \{\text{i} v \mid v \in V\}称为纯虚向量，我们有

V \cap \text{i} V = \{\textbf{0}\} \\

而且V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = V \oplus \text{i} V，用这种方式可以定义复化向量的实部和虚部（都是V的元素）；

因此类比复数，我们可以定义复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}上的复共轭映射

\overline{\sum z_k v_k}: = \sum \overline{z_k} v_k \\

其中z_k \in \mathbb{C}，v_k \in V。

对于一般的复向量空间并不存在这么一个特殊的共轭线性变换【注】。

【注】：指的是满足f(\text{i} v) = - \text{i} f(v)的实线性变换f，或者更直接一点，f(z v) = \bar{z} f(v)。

注：我只考虑有限维度的向量空间。

考虑有限维度实向量空间V的一组基\{v_1, \dots, v_n\}，那么

V = \left\{ \sum_i a_i v_i \right\}_{a_i \in \mathbb{R}}, \\

而它的复化就是

V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = \left\{ \sum_i c_i v_i \right\}_{c_i \in \mathbb{C}}. \\

所以我们发现\{v_1, \dots, v_n\}“仍然”是V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}的一组基，不过是复向量空间意义下的。我们有，

\begin{aligned} V &= \langle v_1, \dots, v_n \rangle_\mathbb{R}, \\ V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} &= \langle v_1, \dots, v_n \rangle_\mathbb{C}; \end{aligned}\\

所以从这个意义上来说，“复化”可以理解成“复参数化”。

如果实向量空间V的（实）维度是n（记作\dim_\mathbb{R} V = n），那么它的复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}的复维度也是n（记作\dim_\mathbb{C} (V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}) = n）；如果把V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}视作一个实向量空间，我们有

V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = \langle v_1, \dots, v_n, \text{i} v_1, \dots, \text{i} v_n \rangle_\mathbb{R}. \\

注：万有性质universal property，我把generic翻译成泛（取自泛型），universal翻译成万有（取自万有引力）。

考虑实向量空间V和它的复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}，对任意一个复向量空间（因此也是一个实向量空间）W，对任意从V到W的实线性映射f，

f: V \to W, \\

存在唯一确定的从V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}到W的复线性映射f_\mathbb{C}，

f_\mathbb{C}: V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \to W \\

f_\mathbb{C}是f的扩张，即f_\mathbb{C}|_V = f。

万有性质常常用交换图（commutative diagram）来描述这个性质，如图

\begin{CD} V @>{\iota}>> V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \\ @| @V{f_\mathbb{C}}VV \\ V @>{f}>> W \\ \end{CD}\\

图中的\iota是（典范同构意义下的）包含映射（inclusion map）

\begin{aligned} \iota : V &\hookrightarrow V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}, \\ v &\mapsto v \otimes 1, \end{aligned}\\

它是一个实线性映射。

这个定理的意义在于，我们可以把复值的实线性映射，转换成货真价实的复线性映射。

当我们试图复化复数域（它是它本身的向量空间）时，我们可以得到一个很特别的同构：

\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}, \\

两边都是二维复向量空间。

对于复向量空间V，我们定义复线性变换

\begin{aligned} j: V &\to V, \\ v &\mapsto \text{i} v, \end{aligned}\\

来表示V本身的复结构，用以区别复化带来的新的复结构（我们用\text{i}来表示）；接下来我们可以把j拓展到V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}上：

j_\mathbb{C} \left( \sum_k z_k v_k \right) = \sum_k z_k j(v_k), \\

其中z_k \in \mathbb{C}，v_k \in V；此时j_\mathbb{C}: V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \to V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}成为了一个\text{i}-复线性映射，因此它一定有本征值和本征向量：

\begin{aligned} j_\mathbb{C}(v - \text{i} j(v)) &= j(v) - \text{i} j^2(v) \\ &= j(v) + \text{i} v \\ &= \text{i} (v - \text{i} j(v)); \end{aligned}\\

定义

V_\text{i}: = \{v - \text{i} j(v) \in V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \mid v \in V\} \\

可以证明它是本征值为\text{i}的本征空间，因此为\text{i}-复线性子空间；类似的我们有

\begin{aligned} j_\mathbb{C}(v + \text{i} j(v)) &= j(v) + \text{i} j^2(v) \\ &= j(v) - \text{i} v \\ &= - \text{i} (v + \text{i} j(v)); \end{aligned}\\

定义

V_{-\text{i}}: = \{v + \text{i} j(v) \in V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \mid v \in V\} \\

可以证明它是本征值为-\text{i}的本征空间；因此V_\text{i} \cap V_{-\text{i}} = \{0\}。

注：在“复向量空间”章节中的记号和这里有一点点差异，具体来说，这里的V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}是那边的V。

我们可以定义两个投影映射（projection），

\begin{aligned} P_\text{i}: V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} &\to V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \\ v &\mapsto {1 \over 2} (v - \text{i} j_\mathbb{C}(v)) \\ P_{-\text{i}}: V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} &\to V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \\ v &\mapsto {1 \over 2} (v + \text{i} j_\mathbb{C}(v)) \end{aligned}\\

我们有P_\text{i}(V) = V_\text{i}，P_{-\text{i}}(V) = V_{-\text{i}}，同时这证明了j_\mathbb{C}是可对角化的：

\begin{aligned} V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} &= V_\text{i} \oplus V_{-\text{i}} \\ v &= P_\text{i}(v) + P_{-\text{i}}(v) \end{aligned}\\

对一般的实向量空间来说，复化的结构十分简单，但是如上一节所述，如果V本身就是一个复向量空间，那么它就会同时拥有两种复结构，导致问题变的复杂，让我们来换个视角来看这个问题

由于v, j(v) \in V（实值向量），复化V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}的复共轭映射定义了V_\text{i}与V_{-\text{i}}的同构

\begin{aligned} V_\text{i} &\to V_{-\text{i}} \\ v - \text{i} j(v) &\mapsto v + \text{i} j(v) \end{aligned}\\

我们可以记

\overline{V_\text{i}} = V_{-\text{i}}, V_\text{i} = \overline{V_{-\text{i}}}, \\

换言之我们有

V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = V_\text{i} \oplus \overline{V_\text{i}} \\

我们发现，V_\text{i}是一个n维的\text{i}-复向量空间，而V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}是它的拓展，而且是一个2 n维的\text{i}-复向量空间，那我们可不可以说V \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}是V_\text{i}的复化呢？这个“复化”甚至还保留了复结构。

具体来说，考虑复向量空间V，我们可以定义它的形式复共轭空间\overline{V}，其中元素记为\bar{v}，数乘定义为

z \cdot \bar{v}: = \overline{\bar{z} v} \\

它也是一个复向量空间，此时V \times \overline{V}就是我们想要的“复化”（也可以记做V \oplus \overline{V}，此时表示外直和）。

这篇文章让《复化切空间》中的复向量空间和复化的部分单独成文，并补充了关于本征值的概念。实际结果就是……复化切空间这篇文章似乎没有存在的必要了，我会把它整合进《复切空间》中。

希望这篇文章能再创《张量》的辉煌。