定积分解题的一些特殊方法

前置知识：黎曼积分的概念

设 f , g f,g f,g在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，如果在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\leq g(x) f(x)≤g(x)，则有

∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx ∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx

证明： 因为

∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ≤ 0 \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x)dx=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx\leq 0 ∫ab​f(x)dx−∫ab​g(x)dx=∫ab​[f(x)−g(x)]dx≤0

\qquad 所以

∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx ∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx

比较定积分的大小：

∫ 0 1 e x d x ‾ ∫ 0 1 e x 2 d x \int_0^1e^xdx\underline{\qquad}\int_0^1e^{x^2}dx ∫01​exdx​∫01​ex2dx

解： \qquad 因为在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上 e x ≥ e x 2 e^x\geq e^{x^2} ex≥ex2，所以 ∫ 0 1 e x d x ≥ ∫ 0 1 e x 2 d x \int_0^1e^xdx\geq\int_0^1e^{x^2}dx ∫01​exdx≥∫01​ex2dx

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

有时候，我们会遇到一些函数，比如

f ( x ) = g ( x ) + ∫ a b f ( t ) d t f(x)=g(x)+\int_a^bf(t)dt f(x)=g(x)+∫ab​f(t)dt

我们要灵活运用积分的方法，将函数变为可解的形式。

设 f ( x ) f(x) f(x)在 R R R上连续， f ( x ) = x + 2 ∫ 0 1 f ( t ) d t f(x)=x+2\int_0^1f(t)dt f(x)=x+2∫01​f(t)dt，则 f ( x ) = ‾ f(x)=\underline{\qquad\qquad} f(x)=​。

解：令 ∫ 0 1 f ( t ) d t = k \int_0^1f(t)dt=k ∫01​f(t)dt=k，则 f ( x ) = x + 2 k f(x)=x+2k f(x)=x+2k

∫ 0 1 f ( x ) d x = ∫ 0 1 ( x + 2 k ) d x \qquad \int_0^1f(x)dx=\int_0^1(x+2k)dx ∫01​f(x)dx=∫01​(x+2k)dx

k = ( 1 2 x 2 + 2 k x ) ∣ 0 1 = 1 2 + 2 k \qquad k=(\dfrac 12x^2+2kx)\bigg\vert_0^1=\dfrac 12+2k k=(21​x2+2kx) ​01​=21​+2k

\qquad 解得 k = − 1 2 k=-\dfrac 12 k=−21​

\qquad 所以 f ( x ) = x + 2 k = x − 1 f(x)=x+2k=x-1 f(x)=x+2k=x−1