一文搞懂考研数学奇偶性，周期性！！

这块主要搞懂两个性质：奇偶性和周期性

很多人觉得奇偶性和周期性太普通，不重要，不重视。那这样，等到后面肯定会吃大亏。因为，它关联后面你是否能够简化计算。

就拿这个定积分来说吧：

\int_{-2}^{2}(\frac{2023^{x}+1}{2023^{x}-1}+x)dx

你要知道这玩意 \frac{2023^{x}+1}{2023^{x}-1} 和 x 是奇函数，瞬间秒杀。如果不知道，那估计算半天，也不一定算出来，最后只能得0分。

然后周期性呢，如果你掌握了它，就会将大的积分区间转化为小的积分区间，从而简化计算，就比如这个：

\int_{2}^{2+10\pi}|sinx|dx=10\int_{0}^{\pi}|sinx|dx=10\int_{0}^{\pi}sinxdx=20

但，没有掌握的话，算那么大的区间，而且区间里面函数还要分段，就会非常麻烦！

所以这块还是需要好好掌握一下。接下来，我将思维导图拆解，来逐步讲解这块，保证看完就懂，懂了就会，会了就得分，不信看着瞧。

分为5类，会了这五类。市面上，基本所有的奇偶函数你都会判定了，一眼看穿，无所遁形。

这些是常见的奇偶函数，是基础中的基础。很多奇偶函数都是它们变形而成的。

难题中往往涉及这种函数，原因在于，够综合，且难判断。但是，作为带过上百名140+的学长，给你总结一个口诀就可以搞定。一偶偶，二奇奇！

a.一偶偶（内层函数一个为偶，那么复合函数为偶）

例子如下图：

这一类为偶的原因在于：内层的偶函数可以吸收负号。

b.二奇奇（内外层函数均为奇，复合函数才为奇）

这一类为奇的原因在于：奇函数可以提出负号，从而最终能把自变量的负号提到最外面。

我们可以采取某种手段，将任意定义域对称的函数变为奇/偶函数，手段如下：

举个例子，把 y=\frac{1}{2024^{x}-1} 变成奇函数就是： \frac{1}{2024^{x}-1}-\frac{1}{2024^{-x}-1}=\frac{2024^{x}+1}{2024^{x}-1} 。

而这样可以构造成功的原因也很简单，一手定义搞定：

老朋友如下：

用奇函数定义改编式： f(-x)+f(x)=0 证明即可

这也给我们一个启示：看见ln（）这种函数，要想判断其是否为奇函数，直接将自变量互为相反数的函数相加即可。

搞懂这个，那么奇偶函数的判断才初步毕业。

其中“奇延拓”中的第三个非常重要，真题考过，也是大家很容易出错的一个点。

什么时候偶函数的不定积分为奇函数？

答：过原点。

因为奇函数满足 f(-x)=-f(x) ，所以它如果在0处有定义，函数值一定为0，也就是函数过原点。但不定积分的结果是一系列函数，并不是每一个都过原点，因此偶函数的不定积分不一定为奇，仅过原点的为奇。

比如： x^{2} 的不定积分中的 \frac{x^{3}}{3} 就是奇函数；而 \frac{x^{3}}{3}+2024 就不是。

考研题目中，函数的周期性是比较好判断的。要不就是直接给你比较简单的周期函数：比如三角函数；或者是直接告诉你函数是周期的；或者可由式子 f(x+T)=f(x) 直接判断。这些都是非常简单的。

而周期性的真正难点在于，下面这几个性质要掌握：

这些性质掌握好了，那么再做周期性的题目，就如鱼得水，轻松的很。

这里我讲几个比较难理解的：

1.周期函数的原函数为啥不是周期的：

答：因为周期函数中的常数会影响，例： \int_{}^{}sinx+1dx=-cosx+x

2.第二条为啥成立？

答：因为 \int_{a}^{x}f(t)dt=\int_{a}^{x+T}f(t)dt\Rightarrow\int_{a}^{x+T}f(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt=\int_{x}^{x+T}f(t)dt=0

根据第三条，得 \int_{0}^{T}f(t)dt=0

3.第三条为啥成立？

答：设函数 f(a)=\int_{a}^{a+T}f(x)dx , f'(a)=f(a+T)-f(a)=0 (因为 f(x) 周期为 T )

所以 f(a)=f(0)=\int_{0}^{T}f(x)dx

是不是很熟悉，运用我们之前周期性说的性质1，立刻推C是错的！

再运用之前奇偶性的5类大拓展，立刻推A对B错。最终选A。真题就是简单！！！

提前剧透计算简化通法：

奇偶化简：

a.判断对称区间定积分的被积函数是否为奇/偶

b.如果是奇，则为0；如果是偶，则是一半区间积分值的两倍

周期化简：

a.判断区间长度是否为被积函数周期的整数倍

b.是的话，就利用下面公式搞定：

1. \int_{-2}^{2}\frac{2024^{x}+1}{2024^{x}-1}+xdx

\int_{-2}^{2}\frac{2024^{x}+1}{2024^{x}-1}+xdx=\int_{-2}^{2}\frac{2024^{x}+1}{2024^{x}-1}dx+\int_{-2}^{2}xdx

a.积分区间对称，被积函数：\frac{2024^{x}+1}{2024^{x}-1} 前面推过为奇， x 也为奇。

b.值为0+0=0

2. \int_{2}^{2+10\pi}|sinx|dx

a. |sinx| 周期为 \pi ，区间长度为10 \pi ，整数倍。

b.公式搞定，过程如下：

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