[数学] 复变函数复习笔记

复变函数概念目录与简明原理 (更新于2021国庆节)

适用于考前复习知识点与临时抱佛脚, 文章不探讨严格证明, 也不会深入解释直观图象.

需要高等数学基础.

文章中的命题证明非严谨证明, 仅作为参考思路, 文章中的命题证明不保证一定正确, 文章中的命题证明思路不保证绝对的有效性. 请酌情参考. 欢迎提出任何意见与建议, 帮助本文更完善.

定义复数(complex number)是指形如 z=x+iy 的数, 其中 i 称之为虚数单位, 定义 i^2=-1 , 记 x=Re(z) 称为实部(real), y=Im(z) 称为虚部(image).

复数可以记为 xy 式: z=x+iy ,也可以记为极坐标 r\theta 式: z=re^{i\theta} 或 z=r\angle\theta 表示.其中 r=|z|, \theta=Arg(z) ,一般主辐角定义为 [0,2\pi) or (-\pi,\pi] , 两者之间通过直角三角形关系式计算.

1. 直角系下运算律: 加减乘除时将 i 看作一个普通变量进行运算, 之后利用i^2=-1化简即可.

2. 极坐标系下运算律: 模长相乘, 辐角相加.

3. 复数满足交换律, 结合律, 分配律

4. 复数的共轭指实部相等, 虚部为相反数, 记为 \bar{z}

------声明: 自下, 如无特殊说明, 在同一段落内, 以下变量为已定义变量, 默认存在如下关系式

x=Re(z), y=Im(z),r=|z|,\theta=Arg(z)\\f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\\ -----------------------------..---------------------------------------

5. 欧拉公式, 几何意义很明白

e^{i\theta}=cos\theta+i\cdot sin\theta\\

6. 领域与去心邻域的定义与实分析中的定义的相同

7. 若尔当曲线: 给一个东西起了个洋气名字: 自身不交叉的连续曲线

8. 单连通区域就是中间没洞的一个连续区域, 复连通区域就是中间有洞的区域.

9. 一堆函数定义

9.1 单值函数/多值函数: 字面意思, 一个自变量, 多个因变量

9.2 单叶/多叶函数: 一个因变量对应于多个自变量叫多叶函数.

9.3 反函数: 定义同初中那个定义

9.4 复合函数: .........................

10. 复变函数的极限/连续/一致连续的定义同实分析中的. 所以立刻得到:

若 f(z)=u(x,y)+i v(x,y) , u, v 这两二元函数连续, 则 f 连续.

11. 复变函数中, 认为每个方向上的 \infty 都算一个点. 这个奇葩数运算方式等同于高等数学中的规范.

复变函数导数/微分定义同实分析中的. 连续复变函数不一定可导, 他可能在一个方向上可导, 也可以在任意方向上可导. 但不一定可导. 可导必须保证

\lim_{dz \rightarrow 0}{\frac{f(z+dz)-f(z)}{dz}}\\

存在. 也就是说一个点任意方向上的导数相等, 函数的变化率与方向无关. 函数自变量微变dz之后因变量值的变化df只取决于微变与一个数的积, 即 df=f'(z)dz , 而 f'(z) 与微变的方向无关.

柯西-黎曼条件(C-R条件-CR恒等式)

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\\

上式中的 u,v,x,y 定义为满足等式

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), x=Re(z),y=Im(z)\\ 实质是解析函数的保角性体现. 这个在某种看法下和定义等价. 解析函数变换后的象空间图象和原空间图象相比较, 任意图形上的任意两条边相交的角的角度不变化(奇点除外)

下面这个视频可以体现这一思想: 原空间相互垂直的线, 经过解析函数变换后, 在交点处仍旧相互垂直( 实际上是一些解析函数的图象, 将z变换到f(z)看起来就是这个样子

注意到, 对于初等函数, 他们的复数域中的求导/积分和实数域一样. 典型的例子是

\int \frac{1}{z}dz=ln z\\

但是又不是那么相似.........

上面的视频展示了一些常见的积分变换. 如果你能理解视频的话, 那么你也应该可以理解我说的这一段话的意思, 并且也就理解了为什么极点会导致积分值不等于0. 因为有些函数是多叶或者多值的.

4. 解析函数自带"调和"的感觉, 即

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0\\\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\\

5. 调和函数 u,v 在区域内满足CR条件, 称 v 为 u 在区域上的共轭调和函数

6. 初等解析函数.

反正实分析中的初等函数到复变上都解析, 而且定义向下兼容, 相关的性质大概相似, 有理运算不改变解析性(可能引入奇点, 就是无穷点或未定义点)

\begin{align}e^z&=e^x (cosy+isiny)\\sinz&=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\cosz&=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\sinhz&=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\\coshz&=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\\ln(z)&=ln|z|+iArg(z)\\z^a&=e^{alnz}\\a^z&=e^{zlna}\end{align}\\

存在以下性质

\begin{align}sinh'z&=coshz\\cosh'z&=sinhz\\sinh(iz)&=isinz\\coshiz&=cosz\\sin(iz)&=isinhz\\cos(iz)&=coshz\end{align}\\

7. 支点就是, 绕它走一圈, 函数值会增加或减少一个值, 原因是多值函数改变了分支造成的. 支割线就是割破定义域, 使得在这个区域内函数为单值函数. 支割线可能是从两个奇点之间划过的任意曲线. 这两个定义看一下就行了, 重在理解.

8. 平面场和复位势自己看书. (我们当时不考. 但是也不是太难. 看书够了

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_c \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\

5. 平均值原理: f(z)在一个圆的圆心的值等于圆周上的值的算术平均值.

6. 模的最大值定理: 解析函数的最大值只可能在边界上.

7. 整函数: 整个复平面上解析叫整函数

8. 刘维尔定理: 值域有界整函数只能是常数( 否则违背模的最大值定理

9. 莫雷拉定理: 若单连通区域内, f连续, f在任意围线的积分都等于0, 则f解析( 一看就理解

级数就是一大堆东西求个和. 比如常见的泰勒级数. 任何函数可以展开成

f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(x-a)^n\\

这种形式. 泰勒定理给出了求解 c_n 的方法 (这里不赘述高等数学的内容). 它的作用是将任何函数用一大堆多项式逼近, 进而求解. 比如

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\\

除了方便手算数值, 还方便了在计算机上运算函数的方法. 因为计算机只能计算加减乘除和整数次方(相当于乘法).

比如可以这么计算下面的式子:

x^y=e^{y\cdot lnx}=e^{y\cdot\frac{log_2 x}{log_2 e}}=e^{y\cdot\frac{log_2 x}{1.4426950408889634}}\\

这个是计算机运算形如 x^y 的式子的原理. 使用泰勒级数可以逼近运算出 e^x 的值. 以2为底的对数的话可以使用下面的方法:

我们可以看见, 级数在计算机领域是很有用的. 在计算机领域有用就意味着在几乎所有非文史类行业里面都有用..........

关于级数暂时就先介绍到这里. 下面阐述基本性质.

注意, 一般情况下泰勒级数级数的收敛域是以展开点向外的一个半径为R的圆. 当然R可以是无穷大. 但是洛朗级数是泰勒级数的更一般形式, 洛朗级数甚至可以直接展开极点处的多项式, 而且仍旧存在一个收敛域. 但是显然在极点处是不收敛的(趋于无穷大). 洛朗级数在复数域(复数平面上)的收敛域一般是一个圆环. 如果在展开点不是极点那么退化为泰勒级数, 收敛域是一个圆. 当洛朗级数收敛域为一个圆环时, 其 Rmin 可以为0, Rmax 可以为无穷大. 圆环上是否收敛需要讨论. 常见的情况是圆环上仅一个点收敛, 其他地方发散. 一般来说, 从展开点出发, 向外的每个极点都会有不同的收敛域. 参考下图:

比如一个函数 f(z) , 在复函数平面上一共4个极点. 分别标出一二三号极点, 第四个极点作为洛朗级数的展开点. 同时二, 三号极点与展开点的距离相等(意思就是 |\color{red}{二号极点}-\color{blue}{展开点}|=|\color{red}{三号极点}-\color{blue}{展开点}| ). 我们在展开点洛朗展开, 那么将会得到三个收敛域:

(为了方便, 就不定义点的英文字母名字了, 而且为了阅读给公式上了个色. 虽然感觉更难阅读了)

第一个收敛域是 C_1:z\in C_1, 0