复变函数复习指南（前三章）

在 z\ne 0 的情况下，正实轴与表示 Z 的向量 \overrightarrow{OP} 的夹角 \theta 称为 z 的辐角，记作 Argz。

（任何一个复数 z\ne 0 有无穷多个辐角，相差 2k\pi ；且 z= 0 时，由于零向量任意方向，所以没有辐角）

辐角主值：在 z 的辐角中把满足 -\pi < \theta _{0}\leq \pi 的 \theta_{0} 称为 Argz的主值，记作 \theta_{0}=argz

复数的三角表示： z=r(cos\theta +isin\theta)

复数的指数表示： z=re^{i\theta}

两个复数的加减法运算和相应的向量加减法运算一致

两个复数相乘就是把模相乘，辐角相加

两个复数相除就是把模相除，辐角相减

z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta)

棣莫弗公式： (cos\theta +isin\theta)^{n}=cosn\theta +isinn\theta

w=\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n}) ，k=0，1，2，……，n-1

复数形式参数方程： z=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})

设函数 \omega=f(z) 定义在区域D中，求 f(z) 在 z_{0} 处的导数：

f'(z)=\lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}

注：如果f(z)在区域D内的每一点都可导，称f(z)在区域D内可导。

\Delta \omega=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f'(z_{0})\cdot \Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z

如果函数 f (z) 在 z_{0} 及 z_{0} 的某邻域内处处可导, 则称 f (z) 在 z_{0} 解析。

如果函数 f (z)在区域D内每一点解析,则称f (z)在区域D内解析. 或称 f (z)是区域D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)。

若函数f (z)在 z_{0} 不解析,称 z_{0} 为f (z)的奇点

注：区域内解析等价于区域内可导；一点处解析不等价于一点处可导。

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} 。函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

f(z)在z=x+yi处可导 \Leftrightarrow u(x,y)与v(x,y)在(x,y)处可微，且满足柯西黎曼方程。

f(z)在区域D内解析 \Leftrightarrow u(x,y)与v(x,y)在D内可微，且满足柯西黎曼方程。

f(z)在z=x+yi处的导数公式： f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(cosy+isiny)

加法公式成立，exp z的周期是 2k\pi i

cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} ， sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} ， sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} ， tanhz=\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}

tanz=\frac{sinz}{cosz} ， cotz=\frac{cosz}{sinz} ， cscz=\frac{1}{sinz} ， secz=\frac{1}{cosz}

正切函数和余切函数的周期为π；正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期为2π。

所有单值解析分支： \omega=f_{k}(z)=\left| z \right|^{\frac{1}{n}}e^{\frac{argz+2k\pi}{n}i}

\omega_{k}'=\frac{d}{dz}(\sqrt[n]{z})_{k}=\frac{1}{n}\frac{(\sqrt[n]{z})_{k}}{z}=\frac{1}{n}(z^{\frac{1}{n}-1})_{k}

\omega=Lnz=ln\left| z \right|+iArgz

相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为： \omega=lnz=ln\left| z \right|+iargz

所以， \omega=Lnz=ln\left| z \right|+iargz+2k\pi i=lnz+2k\pi i

例： Ln(-2+3i)=ln\sqrt{13}+i(\pi -arctan\frac{3}{2})+2k\pi i

所有单值解析分支： \omega_{k}=(Lnz)_{k}=ln\left| z \right|+i(argz+2k\pi)

一般幂函数的基本性质：详见P72-P74。

详见P78之后

需要知道：判断支点的方法；由已给单值解析分支的初值 f(z_{1}) 计算终值 f(z_{2})

f(z_{2})=\left| f(z_{2}) \right|e^{i\Delta_{C}argf(z)}e^{iargf(z_{1})}

注： \Delta_{C}argf(z) 表示沿路径C，从z1到z2幅角主值变化量。路径C是自由指定的，不切割支线即可。

Arccosz=-iLn(z+\sqrt{z^{2}-1}) ； Arcsinz=-iLn(iz+\sqrt{1-z^{2}}) ； Arctanz=-\frac{i}{2}Ln\frac{1+iz}{1-iz}

Arccoshz=Ln(z+\sqrt{z^{2}-1}) ； Arcsinhz=Ln(z+\sqrt{1+z^{2}}) ； Arctanhz=\frac{1}{2}Ln\frac{1+z}{1-z}

分段光滑的简单闭曲线简称为周线

(1)、函数f(z)沿曲线C的积分： \int_{C} f(z)dz=\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(\xi_{k})\cdot \Delta z_{k}}}

沿闭曲线C的积分记作： \oint_{C}f(z)dz

(2)、 \int_{C}f(z)dz=\int_{C}(u+iv)(dx+idy)=\int_{C}udx-vdy+i\int_{C}vdx+udy

(3)、参数法

设 C:x=x(t),y=y(t),t\in[\alpha,\beta] 是一条光滑曲线，则

\int_{C}f(z)dz=\int_{\beta}^{\alpha}f[z(t)]z'(t)dt

(4)、如果C是由 C_{1},C_{2},...,C_{n} 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则

\int_{C}f(z)dz=\int_{C_{1}}f(z)dz+\int_{C_{2}}f(z)dz+…+\int_{C_{n}}f(z)dz

在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的

(5)、重要积分公式

\oint_{\left| z-z_{0}=r \right|}\frac{1}{(z-z_{0})^{n}}dz=\left\{\begin{matrix} 2\pi i, \quad n=1.\\ 0, \quad \quad n\ne 1. \end{matrix}\right.

积分值与路径圆周的中心和半径无关

(6)、估值不等式

设曲线C的长度为L，函数f(z)在C上满足： \left| f(z) \right|\leq M ,那么

\left| \int_{C}f(z)dz \right|\leq \int_{C} \left| f(z) \right|ds \leq ML

推论：函数 f (z) 在 z 平面的单连通区域D内解析，则f (z) 在D内积分与路径无关。

柯西积分定理简要的说：

那么由上面三点就能得出：f(z)沿着C的积分为0

一般来说，对于 \oint_{C}f(z)dz ，当f(z)在闭曲线C围成的区域内解析时，其积分值为0。

重要积分定理推广： \oint_{\Gamma}\frac{1}{(z-a)^{n}}dz=\left\{\begin{matrix} 2\pi i, \quad n=1.\\ 0, \quad \quad n\ne 1. \end{matrix}\right.

此处 \Gamma 不必是圆，a也不必是圆的圆心，只要a在简单闭曲线 \Gamma 内即可。

定理一：若函数 f(z) 在单连通区域B内处处解析，则积分 \int_{C}f(z)dz 与连接起点与终点的路线C无关。

即：\int_{C1}f(z)dz=\int_{C2}f(z)dz=\int_{z_{0}}^{z_{1}}f(z)dz

定理二：若函数 f(z) 在单连通区域B内处处解析，则函数 F(z)=\int_{z_{0}}^{z_{1}}f(\xi)d\xi 必为B内的一个解析函数，且 F'(z)=f(z)

然后，从此之后，求复变函数积分也可以套用牛顿莱布尼兹公式。

定理：

或 \oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz=2\pi if(z_{0})

解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值

如果C是圆周 z=z_{0}+R \cdot e^{i\theta} ，则 f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+R\cdot e^{i\theta})d\theta

解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数，它的n阶导数为： f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz

或者： \oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n}}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(z_{0})

高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分

设 f(z) 在区域D内解析，a为D内一点，区域 \bar{k}:\left| \xi-a \right|\leq R 包含于D，则有

\left| f^{(n)}(a)\right|\leq \frac{n!M(R)}{R^{n}}；n=1,2,...；M(R)=max_{\left| z-a \right|=R}\left| f(z) \right|

z 平面上解析且有界的函数 f(z) 必为常数

柯西积分定理：若 f(z) 在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有 \int_{C}f(z)dz=0

摩勒拉定理：若 f(z) 在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，均有 \int_{C}f(z)dz=0 ，则f(z)在区域D内解析

定义：若二元实函数 \varphi (x,y) 在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程 \varphi_{xx}+\varphi_{yy}=0 ，那么称 \varphi(x,y) 为在区域D内的调和函数。

定理：任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数

设 u(x,y) 为区域 D 内给定的调和函数，我们把使 u+iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v(x,y) 称为 u(x,y) 的共轭调和函数。

换句话说，在 D 内满足方程 \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}，\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} 的两个调和函数中，v称为u的共轭调和函数

区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数