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平面几何中几个重要定理在中考中的应用 平面几何中的几个重要定理在中考中的应用 一、托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.即: 若四边形ABCD内接 于圆,则有: ABCDADBCACBD⋅+⋅=⋅一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷（Hipparchus之手,托勒密只是从他的书中摘出。 喜帕恰斯依巴谷古希腊最伟大的天文学家他编制出1022颗恒星的位置一览表,首次以“星等”来区分星星. 二、梅涅劳斯定理: 如果一条直线与ABC∆的三边BC、CA、AB或其延长线交于D、E、F点,那么 1AFBDCEFB DC EA ⋅⋅=.这条直线叫做ABC∆的梅氏线,ABC∆叫梅氏三角形. 梅涅劳斯定理逆定理: 如果D、E、F分别是ABC∆的三边BC、CA、AB或其延长线的三点,且满足 1AFBDCEFB DC EA ⋅⋅=,那么D、E、F三点共线. 梅涅劳斯（Menelaus定理（简称梅氏定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的 三、塞瓦定理: 若△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F,则 1BDCEAFDC EA FB ⋅ ⋅ =.通常称点P为△ABC的塞瓦点. 塞瓦（GiovanniCeva,1648~1734意大利水利工程师,数学家。 塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 塞瓦定理逆定理: 如果点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB上或其延长线上,并且 1BDCEAFDC EA FB ⋅⋅=,那么 AD、BE、CF相交于一点（或互相平行. 四、斯特瓦尔特定理: 若P为△ABC的BC边上B、C之间一点,则有2 2 2 PCBPAPBPPCABACBC BC +⋅=⋅ +⋅ . 或2 2 2 PCBPAPABACBPPCBC BC =⋅+⋅ -⋅ 托勒密定理 【例1】设P为正方形ABCD的外接圆的弧AD上的一点,则PAPCPB +为定值. A BCF E D E F D CBA P A B C D EF A B C D PE F PA BC F E DC B A P AB C D EF 【例2】等腰梯形一条对角线的平方,等于一腰的平方加上两底之积. 已知: 在梯形ABCD中,AD=BC,AB//CD.求证: 2 2 BDBCABCD=+⋅. 【例3】已知1ab=.求证: 2 2 1ab+=. 【例4】如图,在△ABC中,A∠的平分线交外接圆于D,连接BD.求证: AD·BC=BD（AB+AC. 梅涅劳斯定理 恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键,其逆定理常用于证明点共线,应用很广泛。 解决比较复杂的问题时注意塞瓦定理与梅涅劳斯定理联用。 【例5】如图,直线1l∥2l,AF: FB=2: 3,BC: CD=2: 1,则AE: EC是（. A.5: 2 B.4: 1 C.2: 1 D.3: 2 【例6】如图,△ABC中,AB=5,BC=8,BD=BE,AF=2FC,BF交DE于P.求DP: PE. A B C DA C D l2 l1 A FE D B GA 【例7】（2001山东初中竞赛如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点 E,连接OE交BC于点F.若AB=a,AD=c,BE=b.求B F的长. 塞瓦定理 【例8】如图,在△ABC中,AM是BC边上的中线,BD为B的平分线,AM和BD交于点E,CE的延长线交 AB于F,FN//AC,交BC于N.求证: BF=NC. 【例9】在梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于E,AD、BC的延长线交于H,过E作FG//AB交AD于F, 交BC于G.求证: AG、BF、EH三线共点. 斯特瓦尔特定理 O A F E DC B M B C D E F A N 【例10】 （1990全国初中联赛△ABC中, AB=, P为BC上任一点,则（.A.2PAPBPC PAPBPC=⋅ C.2 PAPBPC>⋅D.2PAPBPC⋅与的大小关系不能确定 【例11】 如图,△ABC中,AB=AC,E为AB中点,在AB延长线上有一点D使BD=BA.求证: CD=2CE. C AB D E A B D C |
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