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3.6.2 龙格- 库塔方法 改进的欧拉法比欧拉法精度高的原因在于,它在确定平均斜率时,多取了一个点的斜 率值。这样,如果我们在[Xi,X(i+1)]上多取几个点的斜率值,然后对它们作线性组合得到平均 斜率,则有可能构造出精度更高的计算方法。这就是龙格-库塔法的基本思想。龙格-库塔 法可看作是欧拉法思想的提高,属于精度较高的单步法。 龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几 个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数,即ode23,ode45,ode113 ,ode23s ,ode15s 等,其中最常用的函数是 ode23( 二三阶龙格-库塔函数)和ode45( 四五阶龙格-库塔函数), 下面分别对它们进行介绍。 1 .二三阶龙格- 库塔函数(ode23) 函数 ode23 的调用格式如下: (1) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0) 输入参数中的'F' 是一个字符串,表示微分方程的形 式,也可以是 f (x , y )的M 文件。TSPAN=[T0 TFINAL]表示积分区间,Y0表示初始条件。 函数 ode23 表示在初始条件 Y0下从 T0到TFINAL 对微分方程 '(,) yFty = 进行积分。函数 F(T, Y) 必须返回一列向量,两个输出参数是列向量 T 与矩阵 Y,其中向量 T 包含估计响应 的积分点,而矩阵 Y 的行数与向量 T 的长度相等。向量 T 中的积分点不是等间距的,这是 为了保持所需的相对精度,而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1, "的解, TSPAN=[T0 T1 TFINAL] 。需要注意的是:TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。 (2) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 其中,参数 options 为积分参数,它可由函 数ODESET 来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’( 默认值是 1e-3)和绝对误差 ‘AbsTol’(默认值是 1e-6),其他参数同上。 (3) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…) 参数P1,P2, …可直接输入到函数 F 中去.如 F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数 OPTIONS为空,则输入 OPTIONS=[ ]。也可 以在 ODE文件中(可参阅 ODEFILE函数)指明参数 TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参 数TSPAN 或Y0 是空,则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN, Y0, OPTIONS] = F([ ],[ ], 'init ')来获得 ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空,则函 数ODE23会忽略,此时为 ODE23('F')。 (4) [T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 此时要求在参数 options 中的事 件属性设为'on' ,ODE文件必须被标记,以便 P(T,Y,'events') 能返回合适的信息,详细可参 阅函数 ODEFILE。输出参数中的 TE是一个列向量,矩阵 YE的行与列向量 TE中元素相 对应,向量 IE 表示解的索引。 2 .四五阶龙格- 库塔函数(ode45) 函数 ode45 的调用格式同 ode23 相同,其差别在于内部算法不同。如果'F' 为向量函数, 则ode23 和ode45 也可用来解微分方程组。 【例3.47 】 分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题: 解:先将微分方程写成自定义函数 exam2fun.m function f=exam2fun (x,y) f=-y-x*y.^2; f=f(:); 然后在命令窗口输入以下语句: >> [x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1) x1 = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 y1 = 1.0000 0.9006 0.8046 0.7144 0.6314 0.5563 0.4892 0.4296 0.3772 0.3312 0.2910 >> [x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1) x2 = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 y2 = 1.0000 0.9006 0.8046 0.7144 0.6315 0.5563 0.4892 0.4296 0.3772 0.3312 0.2910 温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考 |
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