《量子力学》波函数与薛定谔方程

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《量子力学》波函数与薛定谔方程

2023-09-13 01:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

选自曾谨言

附录：波包，群速度，相速度傅里叶变换基础

小记：从实空间到倒空间，是顺时针，乘上 $e^{-ikx}$ 。

$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(k)e^{ikx}dk$ $\psi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \psi(x)e^{-ikx}dx$

对于普通的单色平面波有， $\psi_{k}(x)=e^{ikx}$ 其傅里叶变换则有 $\psi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{i(k'-k)x}dx$ $\psi(k)=2\pi\delta(k-k_0)$

如果是Gauss波包，其傅里叶变换也是一个波包。且波包宽度 $\Delta x$ 和 $\Delta k$ 之间满足不确定性关系。

除此以外，傅里叶变换可以保留波函数的归一化性质。

群速度与相速度

相速度：等相面运动的速度 $u=\omega /k$

$\varphi = kx-\omega t= constant$ $d\varphi=0$

群速度：波包中心的运动速度

波包用单色平面波展开 $\phi(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(k) exp[i(kx-\omega t)]dk$ 认为波包中心出现在相位取极值处，即 $\varphi = kx-\omega(k)t$ 对波数求导，有 $x_c = \frac{d\omega}{dk}t$ 再次求导则得到群速度

总结：相速度是相位的移动速度，实际上就是振幅的传播速度。而群速度是振幅的变化的移动速度，可以理解为波包的传播速度。

推广到de Brogile波，有 $E=\hbar \omega, p = \hbar k (k=2\pi / \lambda)$ ，可得 $\omega = \hbar k^2/2m$ $u=\omega /k = p/2m$ $v_g= d\omega/dk = p/m$ 发现，物质波的群速度就是经典粒子的运动速度。

同样，一个物质波可以看做一个波包，由多个单色平面波叠加而成。因此，根据de Brogile关系，可以认为 $E=\hbar \omega$ ，能量（动量）是不确定的，具有一个分布。波包的概念天然得适应不确定性关系。

参考：

波包扩散

推导思路：色散关系可以用Taylor展开式展开到二阶，代入到波包的单色平面波傅里叶展开式中。波包可以简单取Gauss波包(k空间)，得到最终 $\psi(x,t)$ ，计算其强度分布 $|\psi(x,t)|^2$ 和宽度 $\Delta x$ ，发现宽度是随着时间不断增大的，即不断扩散。

基于这个结论，我们发现，物质波的色散关系是存在二阶项系数的，这就意味着，物质波包必然要扩散，这是反常理的。

第二章：波函数与薛定谔方程概率波

波函数的统计诠释： $|\psi(r)|^2\Delta x\Delta y\Delta z$ 正比于在该点附近小体积元处找到粒子的概率，该统计诠释解决了物质波包扩散、单个电子波动性、粒子性与波动性统一的问题。实际上，电子表现出的粒子性只是其中一部分：即有确切的质量、电荷，但是并不意味着有确定运动轨道；电子的波动性也只是相干叠加性。

波函数根据统计诠释，有归一化条件： $\int |\psi(r)|^2 d^3x =1$ 同时，由于我们更关注相对的概率分布，因此，通常表示为平方可积条件： $\int |\psi(r)|^2 d^3x =A 0$ 除了相对概率，波函数还存在相位不定性，即系数乘上 $e^{ia}$ 依然是归一化的，所以我们认为相位有无，其都描述的是同一个概率波。

对于多粒子体系，其波函数表示为 $\psi(r_1,r_2,...,r_N)$ ，即多维位形空间中的概率波。

动量分布概率

入射粒子可以看做是一个物质波波包，由许多单色平面波叠加而成。而动量具有关系 $p=\hbar k$ ，因此，我们可以将波函数进行平面波（按照动量）展开，有 $\psi(r)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int \varphi(p) exp(ip\bullet r/ \hbar)d^3p$ 其具有对应的逆变换就是 $\varphi(p)$ ， $|\varphi(p)|^2$ 就代表了波函数 $\psi(r)$ 中所含平面波 $exp(ip\bullet r/\hbar)$ 的成分。

实验实现粒子的动量分布测量：电子衍射实验有 $sin\theta_n = n\lambda /a=nh/pa$ ，即衍射出射角度 $\theta_n$ 与入射粒子的动量 $p$ 有关。而该动量的概率就是入射波的对应Fourier分波波幅 $\varphi(p)$ ，其越大，则衍射强度越大。所以我们可以根据衍射波谱得到衍射前粒子动量的分布概率。

笔记要脱离教材来写

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