圆锥曲线如果算到这一步，算不下去该怎么办？

\begin{matrix} \frac{ty_1y_2+2y_1}{ty_1y_2+6y_2} \\ =1+2\cdot \frac{y_1-3y_2}{ty_1y_2+6y_2} \end{matrix}

其中,

\begin{matrix} \frac{y_1-3y_2}{ty_1y_2+6y_2} \\ =\frac{\frac{8t}{4-t^2}-y_2 -3y_2}{\frac{12t}{t^2-4} +6y_2}\\ =\frac{4(\frac{2t}{4-t^2} -y_2)}{6(\frac{2t}{t^2-4}+y_2 )} \\ =-\frac{2}{3} \end{matrix}

则 \text{原式}=1+2\times(-\frac{2}{3} )=-\frac{1}{3} ，为定值

这是非对称韦达式子的常规处理方法，一般先把对称项处理掉，再通过把 y_1 ， y_2 其中一个消去(消元处理)，具体怎么消要看具体式子怎么消方便

ps:为了严谨起见，第二问还要注明t的范围：

\left\{\begin{matrix} t^2-4 \ne 0 \\ \Delta >0 \\ y_1y_2=\frac{12}{t^2-4} \frac{1}{2}">k>\frac{1}{2} 或k不存在或 k\frac{1}{t}>\frac{1}{2} 或 t=0 或 \frac{1}{t}

如图：椭圆方程为： \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ，双曲线方程为： \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ，其中 a>b>0 。过椭圆上一点 A 作切线 l_1 ，交双曲线于 B,C 两点，再过 B,C 分别作关于双曲线的切线 l_2,l_3 ， l_2 \cap l_3=D ，则有： A,D 两点 x 轴对称

证明过程也很优雅，有一步巧妙地运用了同构思想

证明：

设 A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)

则切线 l_1 方程为： \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1

切线 l_2 方程为： \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1

切线 l_3 方程为： \frac{x_2x}{a^2}-\frac{y_2y}{b^2}=1

由 B,C 在 l_1 上，代入 l_1 方程得：

\left\{\begin{matrix} \frac{x_0x_1}{a^2}+\frac{y_0y_1}{b^2}=1 \\ \frac{x_0x_2}{a^2}+\frac{y_0y_2}{b^2}=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x_0x_1}{a^2}-\frac{(-y_0)y_1}{b^2}=1 \\ \frac{x_0x_2}{a^2}-\frac{(-y_0)y_2}{b^2}=1 \end{matrix}\right.

则 \left\{\begin{matrix} x=x_0 \\ y=-y_0 \end{matrix}\right. 恰为方程组 \left\{\begin{matrix} \frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1 \\ \frac{xx_2}{a^2}-\frac{yy_2}{b^2}=1 \end{matrix}\right. 的解

即点 (x_0,-y_0) 为 l_2,l_3 的交点，也即 D 点坐标，其与 A 点关于 x 轴对称