【高等数学笔记】多元函数微分学在几何上的应用、Frenet标架、空间曲线的曲率与挠率

空间曲线的参数方程： R → R 3 \mathbb R\to\mathbb R^3 R→R3， r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ( t ∈ [ α , β ] ) \bm r(t)=(x(t),y(t),z(t))\quad(t\in[\alpha,\beta]) r(t)=(x(t),y(t),z(t))(t∈[α,β]) 连续曲线： r ( t ) \bm r(t) r(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续，即 x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) x(t),y(t),z(t) x(t),y(t),z(t)均在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续 简单曲线：连续且不自交，即 ∀ t 1 , t 2 ∈ ( α , β ) \forall t_1,t_2\in(\alpha,\beta) ∀t1​,t2​∈(α,β)， t 1 ≠ t 2 t_1\ne t_2 t1​​=t2​，均有 r ( t 1 ) ≠ r ( t 2 ) \bm r(t_1)\ne\bm r(t_2) r(t1​)​=r(t2​) 简单闭曲线：简单曲线且 r ( α ) = r ( β ) \bm r(\alpha)=\bm r(\beta) r(α)=r(β) 正向： t t t增大的方向（负向： t t t减小的方向） 有向曲线：规定了正向的曲线 切向量：设点 P 0 = r ( t 0 ) P_0=\bm r(t_0) P0​=r(t0​)，则 r ˙ ( t 0 ) \dot\bm r(t_0) r˙(t0​)就是在点 P 0 P_0 P0​的一个切向量 切线： x − x 0 ( t 0 ) x ˙ ( t 0 ) = y − y 0 ( t 0 ) y ˙ ( t 0 ) = z − z 0 ( t 0 ) z ˙ ( t 0 ) \frac{x-x_0(t_0)}{\dot x(t_0)}=\frac{y-y_0(t_0)}{\dot y(t_0)}=\frac{z-z_0(t_0)}{\dot z(t_0)} x˙(t0​)x−x0​(t0​)​=y˙​(t0​)y−y0​(t0​)​=z˙(t0​)z−z0​(t0​)​或 ρ = r ( t 0 ) + t r ˙ ( t 0 ) \bm\rho=\bm r(t_0)+t\dot\bm r(t_0) ρ=r(t0​)+tr˙(t0​) 光滑曲线：切线方向连续变化的曲线，即 r ( t ) \bm r(t) r(t)有连续导数且导数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上恒不为 0 \bm 0 0 法线：过 P 0 P_0 P0​且与 P 0 P_0 P0​处的切线垂直的任一直线 法平面：所有法线位于法平面内，方程： r ˙ ( t 0 ) ⋅ [ ρ − r ( t 0 ) ] = 0 \dot\bm r(t_0)\cdot[\bm\rho-\bm r(t_0)]=0 r˙(t0​)⋅[ρ−r(t0​)]=0或 x ˙ ( t 0 ) [ x − x ( t 0 ) ] + y ˙ ( t 0 ) [ y − y ( t 0 ) ] + z ˙ ( t 0 ) [ z − z ( t 0 ) ] = 0 \dot x(t_0)[x-x(t_0)]+\dot y(t_0)[y-y(t_0)]+\dot z(t_0)[z-z(t_0)]=0 x˙(t0​)[x−x(t0​)]+y˙​(t0​)[y−y(t0​)]+z˙(t0​)[z−z(t0​)]=0 一般式方程：设曲线方程为 { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​，且雅可比式 ∂ ( F , G ) ∂ ( y , z ) ∣ P 0 ≠ 0 \left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{P_0}\ne0 ∂(y,z)∂(F,G)​∣∣∣​P0​​​=0，可以求解关于 d x , d y , d z \text{d}x,\text{d}y,\text{d}z dx,dy,dz的方程组 { F x ( P 0 ) d x + F y ( P 0 ) d y + F z ( P 0 ) d z G x ( P 0 ) d x + G y ( P 0 ) d y + G z ( P 0 ) d z \begin{cases}F_x(P_0)\text dx+F_y(P_0)\text dy+F_z(P_0)\text dz\\G_x(P_0)\text dx+G_y(P_0)\text dy+G_z(P_0)\text dz\end{cases} {Fx​(P0​)dx+Fy​(P0​)dy+Fz​(P0​)dzGx​(P0​)dx+Gy​(P0​)dy+Gz​(P0​)dz​其任一个非零解 ( d x , d y , d z ) (\text dx,\text dy,\text dz) (dx,dy,dz)就是切向量。

弧长： s = lim ⁡ d → 0 ∑ i = 1 n ∥ P i − 1 P i → ∥ = ∫ α β ∥ r ˙ ( t ) ∥ d t = ∫ α β [ x ˙ ( t ) ] 2 + [ y ˙ ( t ) ] 2 + [ z ˙ ( t ) ] 2 d t s=\lim\limits_{d\to0}\sum\limits_{i=1}^n\left\|\overrightarrow{P_{i-1}P_i}\right\|=\int_\alpha^\beta\|\dot\bm r(t)\|\text dt=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2}\text dt s=d→0lim​i=1∑n​∥∥∥​Pi−1​Pi​ ​∥∥∥​=∫αβ​∥r˙(t)∥dt=∫αβ​[x˙(t)]2+[y˙​(t)]2+[z˙(t)]2 ​dt 可求长的曲线：上式极限存在 弧微分： d s = ∥ r ˙ ( t ) ∥ d t = [ x ˙ ( t ) ] 2 + [ y ˙ ( t ) ] 2 + [ z ˙ ( t ) ] 2 d t \text{d}s=\|\dot\bm r(t)\|\text dt=\sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2}\text dt ds=∥r˙(t)∥dt=[x˙(t)]2+[y˙​(t)]2+[z˙(t)]2 ​dt 自然参数： r = r ( t ( s ) ) \bm r=\bm r(t(s)) r=r(t(s))， s s s为自然参数 应用：例如 d r d s \frac{\text d\bm r}{\text ds} dsdr​为单位向量， d x d s = cos ⁡ α , d y d s = cos ⁡ β , d z d s = cos ⁡ γ \frac{\text dx}{\text ds}=\cos\alpha,\frac{\text dy}{\text ds}=\cos\beta,\frac{\text dz}{\text ds}=\cos\gamma dsdx​=cosα,dsdy​=cosβ,dsdz​=cosγ

定义 r ′ = d r d s , r ˙ = d r d t \bm r'=\frac{\text d\bm r}{\text ds},\dot\bm r=\frac{\text d\bm r}{\text dt} r′=dsdr​,r˙=dtdr​

切向量（Tangent Vector）： r ˙ ( t 0 ) = d r d s d s d t = r ′ d s d t = ∥ r ˙ ∥ r ′ \dot\bm r(t_0)=\frac{\text d\bm r}{\text ds}\frac{\text ds}{\text dt}=\bm r'\frac{\text ds}{\text dt}=\|\dot\bm r\|\bm r' r˙(t0​)=dsdr​dtds​=r′dtds​=∥r˙∥r′，故 r ′ \bm r' r′也是切向量，且是单位切向量，记作 T ( s 0 ) \bm T(s_0) T(s0​) T ( s 0 ) = r ′ ( s 0 ) = r ˙ ∥ r ˙ ∥ \bm T(s_0)=\bm r'(s_0)=\frac{\dot\bm r}{\|\dot\bm r\|} T(s0​)=r′(s0​)=∥r˙∥r˙​法平面：其法向量是切向量

密切平面：将 r ( s 0 ) \bm r(s_0) r(s0​)处的切线与 r ( s 0 + Δ s ) \bm r(s_0+\Delta s) r(s0​+Δs)处的切线确定的平面记作 π ′ \pi' π′，当 Δ s → 0 \Delta s\to0 Δs→0时 π ′ \pi' π′趋于 π \pi π，则称 π \pi π为与曲线最贴近的平面，称作密切平面 次法向量（Binormal Vector）：密切平面的法向量，记作 B ( S 0 ) \bm B(S_0) B(S0​) B ( s 0 ) = ( r ′ ( s 0 ) × r ′ ′ ( s 0 ) ) 0 = r ˙ × r ¨ ∥ r ˙ × r ¨ ∥ \bm B(s_0)=(\bm r'(s_0)\times\bm r''(s_0))^0=\frac{\dot\bm r\times\ddot\bm r}{\|\dot\bm r\times\ddot\bm r\|} B(s0​)=(r′(s0​)×r′′(s0​))0=∥r˙×r¨∥r˙×r¨​

主法向量（Normal Vector）：就是法向加速度，即速度变化的方向。 考虑物体运动的方程为 r = r ( t ) \bm r=\bm r(t) r=r(t)，速度为 v = r ˙ \bm v=\dot\bm r v=r˙，加速度为 a = r ¨ \bm a=\ddot\bm r a=r¨。将速度写成 v = ∥ r ˙ ∥ r ′ \bm v=\|\dot\bm r\|\bm r' v=∥r˙∥r′，则 a = d v d t = d ∥ r ˙ ∥ d t r ′ + ∥ r ˙ ∥ d r ′ d t \bm a=\frac{\text d\bm v}{\text dt}=\frac{\text d\|\dot\bm r\|}{\text dt}\bm r'+\|\dot\bm r\|\frac{\text d\bm r'}{\text dt} a=dtdv​=dtd∥r˙∥​r′+∥r˙∥dtdr′​其中 a n = ∥ r ˙ ∥ d r ′ d t \bm a_n=\|\dot\bm r\|\frac{\text d\bm r'}{\text dt} an​=∥r˙∥dtdr′​是法向加速度。而 d r ′ d t = d r ′ d s d s d t = r ′ ′ ∥ r ˙ ∥ \frac{\text d\bm r'}{\text dt}=\frac{\text d\bm r'}{\text ds}\frac{\text ds}{\text dt}=\bm r''\|\dot\bm r\| dtdr′​=dsdr′​dtds​=r′′∥r˙∥故 a n = r ′ ′ ∥ r ˙ ∥ 2 = r ′ ′ v 2 \bm a_n=\bm r''\|\dot\bm r\|^2=\bm r''v^2 an​=r′′∥r˙∥2=r′′v2定义此方向上的单位向量为主法向量： N ( s 0 ) = r ′ ′ ( s 0 ) ∥ r ′ ′ ( s 0 ) ∥ \bm N(s_0)=\frac{\bm r''(s_0)}{\|\bm r''(s_0)\|} N(s0​)=∥r′′(s0​)∥r′′(s0​)​，很难用 r ˙ \dot\bm r r˙和 r ¨ \ddot\bm r r¨直接计算，但我们有 N ( s 0 ) = B ( s 0 ) × T ( s 0 ) \bm N(s_0)=\bm B(s_0)\times\bm T(s_0) N(s0​)=B(s0​)×T(s0​)注意不要乘反了，否则乘出来肯定是 0 \bm 0 0。

曲率： κ = lim ⁡ Δ s → 0 ∣ Δ θ Δ s ∣ = ∥ T ′ ( s ) ∥ = ∥ r ′ ′ ( s ) ∥ = ∥ r ˙ × r ¨ ∥ ∥ r ˙ ∥ 3 \kappa=\lim\limits_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\theta}{\Delta s}\right|=\|\bm T'(s)\|=\|\bm r''(s)\|=\frac{\|\dot\bm r\times\ddot\bm r\|}{\|\dot\bm r\|^3} κ=Δs→0lim​∣∣∣∣​ΔsΔθ​∣∣∣∣​=∥T′(s)∥=∥r′′(s)∥=∥r˙∥3∥r˙×r¨∥​反映曲线切线方向的转动快慢程度。 对于平面曲线 r = ( x ( t ) , y ( t ) , 0 ) \bm r=(x(t),y(t),0) r=(x(t),y(t),0)， κ = ∣ x ˙ y ¨ − y ˙ x ¨ ∣ [ x ˙ 2 + y ˙ 2 ] 3 2 \kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\dot y\ddot x|}{[\dot x^2+\dot y^2]^{\frac32}} κ=[x˙2+y˙​2]23​∣x˙y¨​−y˙​x¨∣​对于平面曲线 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)， κ = ∣ y ′ ′ ∣ [ 1 + y ′ 2 ] 3 2 \kappa=\frac{|y''|}{[1+y'^2]^\frac32} κ=[1+y′2]23​∣y′′∣​曲率半径： ρ = 1 κ \rho=\frac1\kappa ρ=κ1​

挠率： τ ( s ) = − B ′ ( s ) ⋅ N ( s ) = [ r ′ ( s ) r ′ ′ ( s ) r ′ ′ ′ ( s ) ] ∥ r ′ ′ ( s ) ∥ 2 = [ r ˙ ( t ) r ¨ ( t ) d 3 r d t 3 ] ∥ r ˙ ( t ) × r ¨ ( t ) ∥ 2 \tau(s)=-\bm B'(s)\cdot\bm N(s)=\frac{[\bm r'(s)\quad\bm r''(s)\quad\bm r'''(s)]}{\|\bm r''(s)\|^2}=\frac{[\dot\bm r(t)\quad\ddot\bm r(t)\quad\frac{\text d^3\bm r}{\text dt^3}]}{\|\dot\bm r(t)\times\ddot\bm r(t)\|^2} τ(s)=−B′(s)⋅N(s)=∥r′′(s)∥2[r′(s)r′′(s)r′′′(s)]​=∥r˙(t)×r¨(t)∥2[r˙(t)r¨(t)dt3d3r​]​同时有 ∣ τ ( s ) ∣ = ∥ B ′ ( s ) ∥ |\tau(s)|=\|\bm B'(s)\| ∣τ(s)∣=∥B′(s)∥ 反映曲线偏离密切平面的程度。