标准椭圆和任意椭圆方程之间的变换公式推导

我们在高中数学中就学习过标准的椭圆方程如下： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1这个方程表示一个中心在坐标原点、长轴延 x x x轴长度为 a a a，短轴沿 y y y轴长度为 b b b的正椭圆（ a > b > 0 的 条 件 下 a>b>0的条件下 a>b>0的条件下），如下图所示： 一般来说，椭圆可以以任何一点为中心，也可以有与坐标轴不平行的轴。这样的椭圆总是可以从标准位置的椭圆开始，然后进行旋转和/或平移得到。对于一般性的公式，我们可以包括通过一个角度为0的旋转(即根本没有旋转)和通过零向量的平移(根本没有平移)来进行变换。也就是说，每一个椭圆都可以通过在标准位置上旋转和平移得到。因此，对椭圆的标准方程进行旋转和平移，可以得到任意椭圆的方程。

是旋转然后平移，还是相反，这是一个需要选择的问题。为了理解这个，让R表示一个旋转，考虑点 x = ( x , y ) x = (x, y) x=(x,y)，会发生什么如果我们先平移向量 v \textbf{v} v，然后应用 R \textbf{R} R。因为 R \textbf{R} R是线性的，变换之后的结果为 R(x+v)=Rx+Rv \textbf{R(x+v)=Rx+Rv} R(x+v)=Rx+Rv，然而这和先旋转 x \textbf{x} x，然后用 Rv \textbf{Rv} Rv平移是一样的。这表明，每一个椭圆都可以从一个标准位置的椭圆中得到，要么是旋转后再平移，要么是平移后再旋转。在推导椭圆的一般方程时，我们将使用先旋转后平移的方法。

参考旋转矩阵的两种用法一文，我们使用极坐标工具，绕原点逆时针旋转，通过一个角α，很容易可以将(x, y)变成(xcos α y-sin α， ycos α+ xsin α)。写成矩阵的形式为： [ u v ] = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] [ x y ] \left[\begin{array}{l}u \\v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right] [uv​]=[cosαsinα​−sinαcosα​][xy​]

它的逆运算可以通过旋转2π-α得到，因此将(u, v)变换为(x cos α + y sin α， y cos α - x sin α)。即, [ x y ] = [ cos ⁡ α sin ⁡ α   − s i n α cos ⁡ α ] [ u v ] \left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\\ -sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u \\v\end{array}\right] [xy​]=[cosα −sinα​sinαcosα​][uv​] 事实上，这表明了一个定理，即对于旋转矩阵 R − 1 = R T \textbf{R}^{-1}=\textbf{R}^T R−1=RT 应用变换椭圆方程的方法，可以得到以下方程，对于一个经过α角旋转的标准椭圆。 展开之后我们整理一下，可以得到以下方程： 它的形式是 A x 2 + B x y + C y 2 = 1 Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 1 Ax2+Bxy+Cy2=1, A和C是正数。这样我们可以看出，一个以原点为中心的旋转椭圆的方程是一个具有非零xy项的二次方程。

反过来，我们知道了二次方程的形式，应用一下公式，就可以得到斜椭圆的旋转角 α \alpha α： c o t ( 2 α ) = A − C B cot(2\alpha)=\frac{A-C}{B} cot(2α)=BA−C​，然后，再次使用坐标旋转变换公式即可得到椭圆的长短轴信息，参考Rotated Conic Section Identifying这个视频：

为了完成对椭圆的一般方程的分析，请注意，用一个固定的向量(h, k)平移曲线，其效果就是用x h代替x，用y k代替曲线方程中的y(参见变换后的椭圆方程)。因此，以(h, k)为中心的旋转椭圆的一般方程为 A ( x − h ) 2 + B ( x − h ) ( y − k ) + C ( y − k ) 2 = 1 A(x - h)^2 + B(x - h)(y - k) + C(y-k)^2 = 1 A(x−h)2+B(x−h)(y−k)+C(y−k)2=1，这里a和C都是正的，B2 4AC < 0。还请注意，展开平移椭圆的一般形式将首次引入x和y项。实际上展开后的版本是: A x 2 + B x y + C y 2 − ( 2 A h + k B ) x − ( 2 C k + B h ) y + ( A h 2 + B h k + C k 2 − 1 ) = 0. Ax^2 + Bxy + Cy^2 − (2Ah + kB)x − (2Ck + Bh)y +(Ah^2 + Bhk + Ck^2 − 1) = 0. Ax2+Bxy+Cy2−(2Ah+kB)x−(2Ck+Bh)y+(Ah2+Bhk+Ck2−1)=0.

这表明椭圆的方程总是由x和y的二次多项式给出的，并且它是非零的x或y项的存在表明中心不在原点。

参考文献： General Equation of an Ellipse

最后附上手推版：