圆锥曲线标准形式和齐次式（一般式）之间的参数转换的推导与结论

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圆锥曲线标准形式和齐次式（一般式）之间的参数转换的推导与结论

2024-06-19 09:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

圆锥曲线齐次式（homogeneous form）是 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ ，所有系数乘上非0常数 $k$ 后等式仍然成立。

坐标转换

圆锥曲线标准形式的x轴与长半轴重合，y轴与短半轴重合。考虑圆锥曲线有倾斜的情况，其中心点坐标为 $(x_{0},y_{0})$ ，长半轴与 x 轴的夹角为 θ，则点 $(x,y)$ 对应到标准形式坐标系下为点 $((x-x_0)\cos \theta +(y-y_0)\sin \theta,-(x-x_0)\sin \theta +(y-y_0)\cos \theta )$ ，这个坐标转换是后面所有推导的前置条件。

椭圆标准形式和齐次式之间的参数转换

中心点坐标为 $(x_{0},y_{0})$ ，长半轴与 x 轴的夹角为 θ的椭圆标准方程为：

$\frac{\begin{bmatrix} (x-x_0)\cos \theta +(y-y_0)\sin \theta \end{bmatrix}^2}{a^2}+\frac{\begin{bmatrix} -(x-x_0)\sin \theta +(y-y_0)\cos \theta \end{bmatrix}^2}{b^2}=1$

展开后与齐次式做对比，可得

$\left\{\begin{matrix} a^2\sin ^2\theta +b^2\cos^2 \theta=kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2-a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta+a^2\cos ^2\theta =kC \\ 2(a^2-b^2)\sin \theta \cos\theta y_0-2(a^2\sin^2 \theta +b^2\cos ^2\theta) x_0=kD\\ 2(a^2-b^2)\sin \theta \cos \theta x_0-2(a^2\cos ^2\theta +b^2\sin ^2 \theta )y_0=kE\\ a^2(\sin ^2\theta x_0 ^2+\cos ^2\theta y_0^2-2\sin \cos \theta x_0y_0)+b^2(\cos ^2\theta x_0^2+\sin ^2\theta y_0^2+2\sin \theta \cos\theta x_0y_0)-a^2b^2 =kF\end{matrix}\right.$

利用前三式对后三式进行转化，可得 $\left\{\begin{matrix} a^2\sin ^2\theta +b^2\cos^2 \theta=kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2-a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta+a^2\cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0=D\\ -2Cy_0-Bx_0=E\\ k(Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2)-a^2b^2=kF\end{matrix}\right.$

齐次式到标准形式的参数转换

利用D、E相关的两个等式解得 $\left\{\begin{matrix} x_0=\frac{BE-2CD}{4AC-B^2}\\ y_0=\frac{BD-2AE}{4AC-B^2} \end{matrix}\right.$

前三式推得 $\tan 2\theta =\frac{B}{A-C}$ ，而 $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-\tan ^2\theta }$ ，因此 $B\tan^2 \theta+2(A-C)\tan \theta-B=0$ ，解得 $\theta=\arctan \frac{C-A\pm \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B}$

进一步分析可知 $\arctan \frac{C-A- \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B}$ 才是长半轴对应的倾角（ $\arctan \frac{C-A+ \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B}$ 是短半轴与x轴的夹角）

将 $x0,y0,\theta$ 代入方程组，得到 $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=k(A+C)\\ b^2-a^2=-k\sqrt {(A-C)^2+B^2}\\ a^2b^2=k(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F) \end{matrix}\right.$

综上，最终结果为 $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{2(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F)}{A+C-\sqrt{(A-C)^2+B^2}}}\\ b=\sqrt{\frac{2(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F)}{A+C+\sqrt{(A-C)^2+B^2}}}\\ \theta=atan2(C-A- \sqrt {(A-C)^2+B^2},B)\\ x_0=\frac{BE-2CD}{4AC-B^2}\\ y_0=\frac{BD-2AE}{4AC-B^2} \end{matrix}\right.$

标准形式到齐次式的参数转换

同样可得 $\left\{\begin{matrix} a^2\sin ^2\theta +b^2\cos^2 \theta=kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2-a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta+a^2\cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0=D\\ -2Cy_0-Bx_0=E\\ k(Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2)-a^2b^2=kF\end{matrix}\right.$ ，取 $k=1$ 直接可解出 $\left\{\begin{matrix} A=a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\\ B=2(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta\\ C=a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta\\ D=-2Ax_0-By_0\\ E=-2Cy_0-Bx_0\\ F=-\frac{Dx_0+Ey_0}{2}-a^2b^2 \end{matrix}\right.$

编程实践上一般取 $k=a^2b^2$ ，此时 $\left\{\begin{matrix} A=\frac{\sin^2\theta}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{a^2}\\ B=2(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})\sin\theta\cos\theta\\ C=\frac{\cos^2\theta}{b^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\\ D=-2Ax_0-By_0\\ E=-2Cy_0-Bx_0\\ F=-\frac{Dx_0+Ey_0}{2}-1 \end{matrix}\right.$

双曲线标准形式和齐次式之间的参数转换

中心点坐标为 $(x_{0},y_{0})$ ，实半轴与 x 轴的夹角为 θ的双曲线标准方程为： $\frac{\begin{bmatrix} (x-x_0)\cos \theta +(y-y_0)\sin \theta \end{bmatrix}^2}{a^2}-\frac{\begin{bmatrix} -(x-x_0)\sin \theta +(y-y_0)\cos \theta \end{bmatrix}^2}{b^2}=1$

展开后与齐次式做对比，可得 $\left\{\begin{matrix} b^2\cos^2 \theta-a^2\sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2+a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta-a^2\cos ^2\theta =kC \\ 2(a^2\sin^2 \theta -b^2\cos ^2\theta) x_0-2(a^2+b^2)\sin \theta \cos\theta y_0=kD\\ 2(a^2\cos ^2\theta-b^2\sin ^2 \theta)y_0-2(a^2+b^2)\sin \theta \cos \theta x_0=kE\\ b^2(\cos ^2\theta x_0^2+\sin ^2\theta y_0^2+2\sin \theta \cos\theta x_0y_0)-a^2(\sin ^2\theta x_0 ^2+\cos ^2\theta y_0^2-2\sin \cos \theta x_0y_0)-a^2b^2=kF\end{matrix}\right.$

利用前三式对后三式进行转化，可得 $\left\{\begin{matrix} b^2\cos^2 \theta-a^2\sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2+a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta-a^2\cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0=D\\ -2Cy_0-Bx_0=E\\ k(Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2)-a^2b^2=kF\end{matrix}\right.$

齐次式到标准形式的参数转换

同椭圆齐次式到标准形式的参数转换推导，可得 $\left\{\begin{matrix} x_0=\frac{BE-2CD}{4AC-B^2}\\ y_0=\frac{BD-2AE}{4AC-B^2}\\ \theta=\arctan \frac{C-A\pm \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B} \end{matrix}\right.$

进一步分析可知 $\arctan \frac{C-A+ \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B}$ 才是实半轴对应的倾角（ $\arctan \frac{C-A- \sqrt {(A-C)^2+B^2}}{B}$ 是虚半轴与x轴的夹角）

将 $x0,y0,\theta$ 代入方程组，得到 $\left\{\begin{matrix} b^2+a^2=k\sqrt {(A-C)^2+B^2}\\ b^2-a^2=k(A+C)\\ a^2b^2=k(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F) \end{matrix}\right.$

综上，最终结果为 $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{2(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C}}\\ b=\sqrt{\frac{2(\frac{AE^2-BDE+CD^2}{4AC-B^2}-F)}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}-A-C}}\\ \theta=atan2 (C-A+ \sqrt {(A-C)^2+B^2},B)\\ x_0=\frac{BE-2CD}{4AC-B^2}\\ y_0=\frac{BD-2AE}{4AC-B^2} \end{matrix}\right.$

标准形式到齐次式的参数转换

同样可得 $\left\{\begin{matrix} b^2\cos^2 \theta-a^2\sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ 2(b^2+a^2)\sin \theta \cos \theta =kB\\ b^2\sin ^2\theta-a^2\cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0=D\\ -2Cy_0-Bx_0=E\\ k(Ax_0^2+Bx_0y_0+Cy_0^2)-a^2b^2=kF\end{matrix}\right.$ ，取 $k=1$ 直接可解出 $\left\{\begin{matrix} A=b^2\cos^2 \theta-a^2\sin ^2\\ B=2(b^2+a^2)\sin \theta \cos \theta\\ C=b^2\sin ^2\theta-a^2\cos ^2\theta\\ D=-2Ax_0-By_0\\ E=-2Cy_0-Bx_0\\ F=-\frac{Dx_0+Ey_0}{2}-a^2b^2 \end{matrix}\right.$

编程实践上一般取 $k=a^2b^2$ ，此时 $\left\{\begin{matrix} A=\frac{\cos^2\theta}{a^2}-\frac{\sin^2\theta}{b^2}\\ B=2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\sin\theta\cos\theta\\ C=\frac{\sin^2\theta}{a^2}-\frac{\cos^2\theta}{b^2}\\ D=-2Ax_0-By_0\\ E=-2Cy_0-Bx_0\\ F=-\frac{Dx_0+Ey_0}{2}-1 \end{matrix}\right.$

抛物线标准形式和齐次式之间的参数转换

顶点点坐标为 $(x_{0},y_{0})$ ，焦距为f，对称轴与 x 轴的夹角为 θ的抛物线标准方程为：

$\begin{bmatrix} -(x-x_0)\sin \theta +(y-y_0)\cos \theta \end{bmatrix}^2=4f\begin{bmatrix} (x-x_0)\cos \theta +(y-y_0)\sin \theta \end{bmatrix}$

展开后与齐次式做对比，可得 $\left\{\begin{matrix} \sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ -2\sin \theta \cos \theta =kB\\ \cos ^2\theta =kC \\ -2\sin^2\theta x_0+2\sin \theta \cos\theta y_0-4f\cos\theta=kD\\ -2\cos^2\theta y_0+2\sin \theta \cos\theta x_0-4f\sin\theta=kE\\ \sin^2\theta x_0^2 - 2\sin\theta\cos\theta x_0y_0 + \cos^2y_0^2+4f\cos\theta x_0 + 4f\sin\theta y_0=kF\end{matrix}\right.$

利用前三式对后三式进行转化，可得 $\left\{\begin{matrix} \sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ -2\sin \theta \cos \theta =kB\\ \cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0-4f\cos\theta=kD\\ -2Cy_0-Bx_0-4f\sin\theta=kE\\ Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2+4f\cos\theta x_0 + 4f\sin\theta y_0=kF\end{matrix}\right.$

齐次式到标准形式的参数转换

由前三式得 $\left\{\begin{matrix} \theta=\arctan -\frac{2A}{B}\\ k=\frac{1}{A+C} \end{matrix}\right.$ ，利用抛物线齐次式的性质 $B^2=4AC$ 可将 $\left\{\begin{matrix} -2Ax_0-By_0-4f\cos\theta=kD\\ -2Cy_0-Bx_0-4f\sin\theta=kE\end{matrix}\right.$ 的 $x_0$ 和 $y_0$ 都消去，得到 $f=\frac{BE-2CD}{(A+C)(8C\cos\theta-4B\sin\theta)}$ ，这时候如果 $f0$ ，则需要将 $\theta$ 加上180度，使得 $f0$

记 $D_1=kD+4f\cos\theta$ 、 $E_1=kE+4f\sin\theta$ 则 $\left\{\begin{matrix} Ax_0=-\frac{By_0+D1}{2}\rightarrow Ax_0^2 = -\frac{Bx_0y_0}{2}-\frac{D1x_0}{2}\\ Cy_0=-\frac{Bx_0+E1}{2}\rightarrow Cy_0^2=-\frac{Bx_0y_0}{2}-\frac{E_1y_0}{2} \end{matrix}\right.$ ，可将 $Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2+4f\cos\theta x_0 + 4f\sin\theta y_0=kF$ 的二次项都消去，得到 $(4f\cos\theta -\tfrac{D_1}{2})x_0 + (4f\sin\theta-\frac{E1}{2})y_0=kF$

解方程组 $\left\{\begin{matrix} -2Ax_0-By_0=D1\\(4f\cos\theta -\tfrac{D_1}{2})x_0 + (4f\sin\theta-\frac{E1}{2})y_0=kF \end{matrix}\right.$ 可得 $\left\{\begin{matrix} x_0=\frac{k(BF+D_1(4f\sin\theta-\frac{E_1}{2}))}{B(4f\cos\theta-\frac{D_1}{2})-2A(4f\sin\theta-\frac{E_1}{2})}\\ y_0=-\frac{2Ax_0+D_1}{B}\end{matrix}\right.$

标准形式到齐次式的参数转换

同样可得 $\left\{\begin{matrix} \sin ^2\theta =kA,(k\neq 0) \\ -2\sin \theta \cos \theta =kB\\ \cos ^2\theta =kC \\ -2Ax_0-By_0-4f\cos\theta=kD\\ -2Cy_0-Bx_0-4f\sin\theta=kE\\ Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2+4f\cos\theta x_0 + 4f\sin\theta y_0=kF\end{matrix}\right.$ ，取 $k=1$ 直接可解出 $\left\{\begin{matrix} A=sin ^2\theta\\ B=-2\sin \theta \cos \theta\\ C=\cos ^2\theta\\ D=-2Ax_0-By_0-4f\cos\theta\\ E=-2Cy_0-Bx_0-4f\sin\theta\\ F=Ax_0^2+Bx_0y_0 + Cy_0^2+4f\cos\theta x_0 + 4f\sin\theta y_0 \end{matrix}\right.$

C++编程实践

这里给出圆锥曲线标准形式和齐次式之间的参数转换的C++代码

#include #define DBL long double void ellipse_homogeneous(DBL a, DBL b, DBL t, DBL x, DBL y, DBL (&c)[6]) { // 根据椭圆的长短半轴、倾斜角度和中心坐标计算椭圆一般式的系数 DBL si = sin(t), co = cos(t); c[0] = si/b*si/b + co/a*co/a; c[1] = 2.*(1./a/a - 1./b/b)*si*co; c[2] = co/b*co/b + si/a*si/a; c[3] = -2.*c[0]*x - c[1]*y; c[4] = -2.*c[2]*y - c[1]*x; c[5] = -(c[3]*x + c[4]*y)/2. - 1.; } void ellipse_params(DBL (&c)[6], DBL &a, DBL &b, DBL &t, DBL &x, DBL &y) { // 根据椭圆一般式的系数计算长短半轴、倾斜角度和中心坐标 if (c[0] < 0) for (int i=0; i

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