截交线、相贯线的构形识图方法（机械识图）

1.回转体表面截交线

回转体被平面切割时，在回转体的切口表面上会产生平面曲线或平面曲线与直线组合的截交线，它是两面的共有线，是由一系列共有点所组成的。因此，求作截交线的投影，即是求作回转体表面上点的投影。

2.求作截平面与回转体截交线的步骤

1）分析截交线的形状。回转体被平面切割，其截交线的形状取决于回转体的几何形状以及回转体与截平面的相对位置。一般情况下，截交线是一条平面曲线或平面曲线与直线的组合，特殊情况下为直线。

2）截交线的投影分析。先根据截平面与投影平面的相对位置，明确截断面的三面投影特点；再根据投影的真实性、积聚性或类似性等，确定截交线在三个面上投影的形状以及求作方法。

3）画截交线的投影。当截交线的投影是圆或直线时，可直接画出；当截交线的投影为椭圆或非圆曲线时，不能直接画出，此时应先求出那些限制截交线大小、范围、虚实分界等的特殊点，然后再在特殊点之间求出一些一般点，最后依次光滑连接成曲线。

3.求作截交线的方法

1，积聚性取点法

当截平面垂直于投影平面时，截切后的回转体表面也垂直于投影平面，其截交线的投影必与截断面和回转体表面的投影重合。因此，截交线上点的两面投影为已知，通过已知两点的投影，便能求作出一系列交线上的点。

例7-1 如图7-1a所示，圆柱被正垂面截切，已知主、俯视图，求截交线的侧面投影。

1）空间构形与投影分析（见图7-1b）。由题意可知，截平面与圆柱体轴线倾斜，其截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚为一条斜线，水平投影与圆柱面的投影重合积聚成圆，而截交线的侧面投影仍为椭圆。

截断面上椭圆的长轴AC为正平线，短轴BD为正垂线，二者互相垂直平分。长轴上A、C两端点分别是椭圆的最左、最右、最高和最低的特殊位置点，交于圆柱面的最左、最右素线上。短轴上B、D两端点分别是椭圆的最前、最后特殊位置点，交于圆柱面的最前、最后素线上。

2）作截交线的侧面投影

（1）找出截交线上特殊点的投影。长轴上两个端点A、C的正面投影位于圆柱体主视图的最左、最右轮廓素线上的点a’、c’，水平投影积聚为点a，c；短轴上两个端点B、D的正面投影位于圆柱体的轴线上并重合为一点b’（d’），水平投影积聚为点b、d。根据已知两点求作第三点的方法，求得点a"、6"、c"、d"，如图7-1c所示。

（2）求中间点。为了作图准确，还必须在特殊点之间作出适当数量的中间点，如E，F、G、H，一般先确定点e’（f’）、g’（h’）的位置，再根据圆柱面上找点的方法求得点e，f、g、h和点e"、f"、g"、h"，如图7-1c所示。

（3）连线。用曲线板依次将点a"a’ey"g"连接成光滑曲线，即为所求截交线椭圆的侧面投影，如图7-1d所示。

平面切割圆柱时，因截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其和圆柱面的截交线形状也是不同的，见表7-1。

当截平面与圆柱轴线交角为450时，截交线的空间形状为椭圆，但因椭圆长、短轴的侧面投影相等，所以截交线的侧面投影为圆，圆的直径等于圆柱的直径，如图7-2所示。

4.辅助线法

例7-2 如图7-3a所示，求圆锥被侧平面P截切的截交线的侧面投影。

1）空间构形与投影分析（见图7-3b）。平面与圆锥相交，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线的形状也不同，见表7-2.

由题意可知，圆锥面被侧平面P切割，P面平行于圆锥轴线，故截交线的形状为一条双曲线。由于截交线既在圆锥上，又在截平面上，故截交线的正面投影和水平投影积聚成直线，其侧面投影反映实形。

双曲线的最高点0在圆柱的最左轮廓素线上；最前、最后点1、N是双曲线与圆锥底面的交点。这些点都是双曲线上的特殊点。

2）求作截交线的侧面投影

①求特殊位置点的投影。根据截交线的正面投影和侧面投影，求出截交线的特殊位置点的侧面投影。由最高点0’、。求得其侧面投影。"；由最前、最后点也是最低点1’、1、4’、4求得其侧面投影1"、4"，如图7-3c所示。

②求中间点。为了提高作图的准确性，可利用“素线法”来求作若干中间点。 作图时，先在水平面上作圆锥素线sa、sb，与P面的水平投影相交于点2、3；然后，在侧面投影中，根据素线sa，sh求出其投影s"a"、s"6"，并将点2、3向s"a"、5"6"投影得点2"3"，如图7-3c所示。

③连线。依次把求得的点用曲线光滑的连接起来，即完成截交线的侧面投影，如图7-3d所示。

上述例题中，求作中间点的方法除了用“素线法”外，还可以用“纬圆法”。 如图74a所示，在圆锥面上作若干纬圆，每个纬圆与截平面P产生两个交点（1I和1），它们既在圆锥面上，又在截平面P上。作图时，先在俯视图上作出纬圆的水平投影，与截平面P交于点2、3，并将纬圆向侧面投影，作出纬圆的侧面投影线，然后根据点的投影求出中间点2"、3"，作图结果如图7-4b所示。

5.·辅助平面法

辅助平面法是借助假想平面截切已被截断的回转体，从而求出回转体表面与截断面的交线。两条交线的交点，即为截交线上的点。该点既是回转体表面上的点，又是截断面和假想平面上的点，是三个面的共点。

用辅助平面法求作截交线上的点，关键是选择辅助平面的位置。假想平面必须在回转体截交线的范围内截切，而且截切后的断面的投影应为圆或直线。

例7-3 如图7-5所示，求圆球被正垂面P截切后的投影。

1）空间构形与投影分析。平面与圆球在任意位置相交，其截交线都为圆。

由题意可知，圆球被正垂面P切割，截交线空间形状为圆，截交线在正面投影上积聚成直线，但因截平面P与水平面和侧平面倾斜，因此其截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆。

2）求作截交线的侧面投影

①求特殊位置点的投影。圆球的正面轮廓线于截平面P的交点1’，7’是截交线上的最低、最高点的正面投影，其水平投影1、7和侧面投影1"，7"为截交线投影的短轴；取正面投影1’、7’的中点4’（10’），根据点的投影规律，求出水平投影和侧面投影4、10和4"、10"，即为截交线的长轴投影；点2、6、8，12是球的水平轮廓线及侧面轮廓线与截平面交点的水平投影，其侧面投影为2"、6"、8"、12"，如图7-5b所示。

②求中间点。此时可利用辅助平面法，在圆球的适当位置作辅助水平面M、N，辅助平面的正面投影积聚成直线，与截平面P交于点3’（11’）5’（9’）；辅助平面的水平投为圆，侧面投影积聚成直线，再根据点的投影规律，求得点交点的水平投影3、5、9、11及侧面投影3"、5"、9"、11"，如图7-5c所示。

③连线。依次把求得的点用曲线光滑的连接起来，即完成截交线的水平投影和侧面投影，如图7-5d所示。

6.共轴回转体截交线

所谓共轴回转体在前面已经介绍过，平面与共轴回转体相交，实际上可以看成单个平面与单个回转体相交。如图7-6a所示为顶尖，该零件可看成由圆锥、圆柱和半圆球所组成的共轴回转体，分别被水平面P截切。求作截交线时，可分别作出每个回转体的截交线，然后由相邻截交线汇交，如图7-6b所示。

根据截平面的位置及回转体的形状和组合形式不同，相邻截交线的汇交处，常见有三种结合形式，如图7-7所示。

1）当两个相邻共轴回转体表面相交时，相邻截交线的相交处为尖点过渡如图7-7a所示。

2）当两个相邻共轴回转体相接时，相接处层次分明，且两形体之间共一个过渡面，则相邻截交线的汇交处为直线过渡，如图7-7b所示。

3）当两个相邻共轴回转体表面相切时，相邻截交线的汇交处为光滑过渡，如图7-7c所示。

上述共轴回转体截交线的三种结合形式，不论以何种方式结合，其相邻两形体的截交线汇交点，都符合三面共点的原则。

8.回转体相贯线

前面已经讨论了两回转体正交时的相贯线的求作方法，本节继续讨论其他形式回转体相交相贯线的作法。

两回转体相交形成的相贯线，是两回转体表面的共有线。而共有线是由一系列共有点组成的。因此求作相贯线的投影实质是求两个表面共有点的问题。

两回转体相交时，相贯线的形状与两回转体的形状、相对大小和空间相对位置有关。相贯线的形状一般为封闭的光滑空间曲线。下面将举例介绍回转体相贯线的求作方法。

9.利用积聚性取点法求作相贯线

利用积聚性取点法，就是根据回转体具有的积聚性特点，利用两回转体表面上已知若干共有点的投影，求出未知投影，从而画出相贯线。 通常当两个圆柱体相交时，其轴线都垂直于投影平面，相贯线的投影则分别与两圆柱面的投影重合，而相贯线在与两轴线所平行的投影面上显示真实形状。作图时，该投影面上的相贯线投影，就是利用已知的两面投影，再通过求点的方法作出的。 例7-5 如图7-9所示，已知圆柱体与四分之一圆柱体垂直相交，补画左视图。