切线的证明，这道题需要清晰的思路，2022北京中考数学真题分析

证明圆的切线，是中考数学最常见的题型之一。一般的做法都是连接圆心和切点，然后证明半径或直径垂直于切线。当然，在没有得到证明之前，并没有切点和切线的概念，这里都是t先借用的。这类题一般都比较简单，但在2022年北京中考数学中，有这样一道类型题，虽说不难，但也没有那么简单，证明需要有特别清晰的思路，如果在这种题身上浪费太多时间，对中考现场影响还是蛮大的。题目是这样的：

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.

(1)求证：∠BOD=2∠A;

(2)连接DB,过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线.

分析：(1)因为角A是一个圆周角，所以很容易想到，利用“同弧BC所对的圆心角是圆周角的两倍”来做等量替换。只要连接OC，角BOC就是角A同弧所对的圆心角。因此角BOC是角A的两倍。又半径OC=OD，即三角形OCD是一个等腰三角形，AB垂直于CD，所以底边CD的高在AB上，根据“等腰三角形底边三线合一”，就可以知道，OB是角COD的平分线，所以角OBD=角BOC，从而角BOD=2倍角A，得证！

(2)根据题意，把图补充完整。可以看到，只要能证明OC平行于DE，那么CE就同时垂直于这组平行线，再利用切线的判定定理“垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线”，问题就可以解决。而要证明两条直线平行，我们可以通过证明它们的一对内错角角OCD和角CDE相等。其中角OCD和角ODC是等腰三角形OCD的两个底角，因此它们相等。

通过观察，可以发现，只要证明三角形CFD和三角形CED全等，就可以达到上面的目的。这两个三角形有一条公共边CD，易证它们都是直角三角形，即角CFD和角E都是直角。只要再证明一个条件，问题就解决了。

继续观察，可以发现，利用同角(角BDC)有相等的余角角ABD和角DCE，以及同弧所对的圆周角角ABD和角DCF相等，就可以等量替换出两个三角形全等的最后一个条件：角DCF=角DCE。这是一个逆向思维的过程。下面就可以开始组织解题过程了：

证明： (1)连接OC, 则OC=OD, ∠BOC=2∠A.

∵AB⊥CD, ∴∠BOC=∠BOD(等腰三角形“三线合一”).

∠BOD=2∠A.

(2)如图，∵F是AC的中点，∴DF⊥AC,

又CE⊥DB, ∴∠CFD=∠E=90⁰.

∵AB⊥CD, ∴∠ABD=∠DCE=90⁰-∠BDC.

又∠ABD=∠DCF, ∴∠DCF=∠DCE.

又CD=CD, ∴△DCF≌△DCE(AAS). ∴∠CDF=∠CDE.

又∠CDF=∠OCD, ∴∠CDE=∠OCD. ∴OC//DB. ∴CE⊥OC.

∴CE是⊙O的切线.

你觉得这道题怎么样呢？