n维立方体角、面、边的个数

在看Gilbert Strang的Introduction to the Linear Algebra (5th)的过程中看到一个有趣的问题：

How many corners does a cube have in 4 dimensions? How many 3D faces? How many edges? A typical corner is (0, 0, 1, 0). A typical edge goes to (0, 1, 0, 0).

现在试着回答一下对于n维立方体，这些性质是怎样的。

一个n维立方体中的点可以用一个n维向量表达，其中每个component都可以取 $[0, 1]$ 中的任何一个值（为了方便讨论，这里使用的是单位立方体，也就是位于第一象限，一个角处在原点，边长为1的正方体）。

要找到所谓的角，只需要让这个n维向量的所有component都取边界值。

对于每个component而言，有两个边界值0和1，那么只需取所有component取两个边界值时的组合就可以了：

n维立方体有 $2^n$ 个角

我们可以想象，要画出n维立方体所处的空间，那么就有n个互相垂直的轴，对于我们所讨论的单位立方体，其中的每个面都只需要n-1个变化的component去填充，剩下的那个component是边界值0或者1。

要找到一个面，只需要固定n维向量的1个component为0或者1，然后让其他n - 1个component自由变化填充这个面就可以了，因此：

n维立方体有 $2n$ 个n - 1维的面

想象n个互相垂直的轴也不是很困难，例如对于4维空间，在其中一个轴的任何一点，都可以找到与之垂直的一个三维空间。对于更高维的空间，只需要递归地进行这个思路就可以了。

所谓的边就是处于正方体边界的1维线段。

要确定一条边，需要让n维向量的n - 1个component固定为边界值（0或1），剩下那个component在 $[0, 1]$ 内自由变化，边的个数等于固定的方式数，因此：

n维立方体有 $n × 2^{n-1}$ 条边

其实边、角、面都是n维立方体空间内的一些边界值，区别只在于其维度。