高斯积分（概率积分）以及它与伽马函数之间的关系

二维高斯函数

可以分解为两个一维高斯函数相乘，计算机视觉里用的很多都是均值为0的正态分布作为高斯函数。

有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个实数线上的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} ∫−∞∞​e−x2dx=π ​ 尽管误差函数不存在初等函数，但可以通过Risch算法证明，高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。下面这个不定积分 ∫ e − x 2   d x , {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,} ∫e−x2dx,无法用初等函数表示，但可以计算定积分 ∫ − ∞ ∞ e − x 2   d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} ∫−∞∞​e−x2dx 任意高斯函数的定积分为 ∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2   d x = π a . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.} ∫−∞∞​e−a(x+b)2dx=aπ​ ​. 在物理学中，经常用到高斯积分；而在量子场论中会用到许多该积分的推广形式。

由于被积分的函数是一个偶函数， ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x \int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-x^{2}}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{{-x^{2}}}dx ∫−∞∞​e−x2dx=2∫0∞​e−x2dx 通过替代变量它可以变成一个欧拉积分

∫ 0 ∞ e − t   t − 1 2 d t   =   Γ ( 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt\,=\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)} ∫0∞​e−t t−21​dt=Γ(21​) 这里   Γ {\displaystyle ~\Gamma }  Γ是Γ函数。更广义地， b ∫ 0 ∞ e − a x b d x = a − 1 b   Γ ( 1 b ) . {\displaystyle b\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx=a^{-{\frac {1}{b}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right).} b∫0∞​e−axbdx=a−b1​Γ(b1​).

任一高斯函数的积分都可以用以下的公式计算：

∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2   d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} ∫−∞∞​e−a(x+b)2dx=aπ​ ​ 更为一般的形式为：

∫ − ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c   d x = π a   e b 2 4 a + c {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}} ∫−∞∞​e−ax2+bx+cdx=aπ​ ​e4ab2​+c

这一公式在计算有关正态分布的一些连续概率分布的数学期望的时候特别有用，例如对数正态分布。