高中數學/函數與三角/萬能公式與多倍角相關公式

本節介紹的內容屬於高中數學的拓展知識，並不要求大多數中學生了解。

萬能公式在後續的積分學課程中會有一定的用途，是三角換元的一種常見技巧。三倍角公式則不是很重要，也不需要記憶，但其推導不算複雜，可以作為提升基礎的例題。

萬能公式也叫正切半角公式（tangent half-angle formulas），是一組只用正切函數表示其它三角函數的公式統稱，它們形式相似，都只含有原角大小一半的正切值。

sin ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 + tan 2 ⁡ α {\displaystyle \sin 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}}

cos ⁡ 2 α = 1 − tan 2 ⁡ α 1 + tan 2 ⁡ α {\displaystyle \cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}}

tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan 2 ⁡ α {\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}

求一個角的三倍的三角函數值，可以套用2次二倍角公式，從而得到三倍角公式（formulae for triple angles）。

sin ⁡ ( 3 x ) = sin ⁡ ( 2 x + x ) = sin ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ x + cos ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ x = ( 2 sin ⁡ x cos ⁡ x ) cos ⁡ x + ( 1 − 2 sin 2 ⁡ x ) sin ⁡ x = 2 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x + sin ⁡ x − 2 sin 3 ⁡ x = 2 sin ⁡ x ( 1 − s i n 2 x ) + sin ⁡ x − 2 sin 3 ⁡ x = 2 sin ⁡ x − 2 sin 3 ⁡ x + sin ⁡ x − 2 sin 3 ⁡ x = 3 sin ⁡ x − 4 sin 3 ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3x)&=\sin(2x+x)\\&=\sin(2x)\cos x+\cos(2x)\sin x\\&=(2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin ^{2}x)\sin x\\&=2\sin x\cos ^{2}x+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=2\sin x(1-sin^{2}x)+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=2\sin x-2\sin ^{3}x+\sin x-2\sin ^{3}x\\&=3\sin x-4\sin ^{3}x\end{aligned}}}

cos ⁡ ( 3 x ) = cos ⁡ ( 2 x + x ) = cos ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ x − sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ x = ( 1 − 2 sin 2 ⁡ x ) cos ⁡ x − ( 2 sin ⁡ x cos ⁡ x ) sin ⁡ x = cos ⁡ x − 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x − 2 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x = cos ⁡ x − 4 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x = cos ⁡ x − 4 ( 1 − cos 2 ⁡ x ) cos ⁡ x = cos ⁡ x − 4 cos ⁡ x + 4 cos 2 ⁡ x cos ⁡ x = 4 cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3x)&=\cos(2x+x)\\&=\cos(2x)\cos x-\sin(2x)\sin x\\&=(1-2\sin ^{2}x)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\\&=\cos x-2\sin ^{2}x\cos x-2\sin ^{2}x\cos x\\&=\cos x-4\sin ^{2}x\cos x\\&=\cos x-4(1-\cos ^{2}x)\cos x\\&=\cos x-4\cos x+4\cos ^{2}x\cos x\\&=4\cos ^{3}x-3\cos x\end{aligned}}}

tan ⁡ ( 3 x ) = tan ⁡ ( 2 x + x ) = tan ⁡ ( 2 x ) + tan ⁡ x 1 − tan ⁡ ( 2 x ) tan ⁡ x = 2 tan ⁡ x 1 − tan 2 ⁡ x + tan ⁡ x 1 − 2 tan ⁡ x 1 − t a n 2 x tan ⁡ x = 2 tan ⁡ x + ( 1 − tan 2 ⁡ x ) tan ⁡ x 1 − t a n x ( 1 − t a n 2 x ) − 2 tan ⁡ x tan ⁡ x 1 − t a n x = 2 tan ⁡ x + tan ⁡ x − tan 2 ⁡ x tan ⁡ x 1 − t a n 2 x − 2 tan 2 ⁡ x = 3 tan ⁡ x − tan 3 ⁡ x 1 − 3 tan 2 ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(3x)&=\tan(2x+x)\\&={\frac {\tan(2x)+\tan x}{1-\tan(2x)\tan x}}\\&={\frac {{\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}+\tan x}{1-{\frac {2\tan x}{1-tan^{2}x}}\tan x}}\\&={\frac {\frac {2\tan x+(1-\tan ^{2}x)\tan x}{1-tan^{x}}}{\frac {(1-tan^{2}x)-2\tan x\tan x}{1-tan^{x}}}}\\&={\frac {2\tan x+\tan x-\tan ^{2}x\tan x}{1-tan^{2}x-2\tan ^{2}x}}\\&={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}\end{aligned}}}

三倍角的正、餘弦公式還有另一種形式，但需要在推導過程中對2個同類型三角函數之和或之差使用和差化積技巧：

sin ⁡ ( 3 x ) = 3 sin ⁡ x − 4 sin 3 ⁡ x = 4 ( sin ⁡ x ) ( 3 4 − sin 2 ⁡ x ) = 4 sin ⁡ x ( ( 3 2 ) 2 − sin 2 ⁡ x ) = 4 sin ⁡ x ( sin 2 ⁡ π 3 − sin 2 ⁡ x ) = 4 sin ⁡ x ( sin ⁡ π 3 + sin ⁡ x ) ( sin ⁡ π 3 − sin ⁡ x ) = 4 sin ⁡ x ⋅ 2 sin ⁡ ( π 6 + x 2 ) cos ⁡ ( π 6 − x 2 ) ⋅ 2 sin ⁡ ( π 6 − x 2 ) cos ⁡ ( π 6 + x 2 ) = 4 sin ⁡ x ⋅ 2 sin ⁡ ( π 6 + x 2 ) cos ⁡ ( π 6 + x 2 ) ⋅ 2 sin ⁡ ( π 6 − x 2 ) cos ⁡ ( π 6 − x 2 ) = 4 sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ ( 2 ( π 6 + x 2 ) ) ⋅ sin ⁡ ( 2 ( π 6 − x 2 ) ) = 4 sin ⁡ x sin ⁡ ( π 3 + x ) sin ⁡ ( π 3 − x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3x)&=3\sin x-4\sin ^{3}x\\&=4(\sin x)({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(({\frac {\sqrt {3}}{2}})^{2}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(\sin ^{2}{\frac {\pi }{3}}-\sin ^{2}x)\\&=4\sin x(\sin {\frac {\pi }{3}}+\sin x)(\sin {\frac {\pi }{3}}-\sin x)\\&=4\sin x\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\\&=4\sin x\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}})\cdot 2\sin({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\cos({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}})\\&=4\sin x\cdot \sin(2({\frac {\pi }{6}}+{\frac {x}{2}}))\cdot \sin(2({\frac {\pi }{6}}-{\frac {x}{2}}))\\&=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}+x)\sin({\frac {\pi }{3}}-x)\\\end{aligned}}}

cos ⁡ ( 3 x ) = 4 cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x = 4 cos ⁡ x ( cos 2 ⁡ x − 3 4 ) = 4 cos ⁡ x ( cos 2 ⁡ x − ( 3 2 ) 2 ) = 4 cos ⁡ x ( cos 2 ⁡ x − cos 2 ⁡ π 6 ) = 4 cos ⁡ x ( cos ⁡ x + cos ⁡ π 6 ) ( cos ⁡ x − cos ⁡ π 6 ) = 4 cos ⁡ x ⋅ 2 cos ⁡ ( x 2 + π 12 ) cos ⁡ ( x 2 − π 12 ) ⋅ ( − 2 sin ⁡ ( x 2 + π 12 ) sin ⁡ ( x 2 − π 12 ) ) = 4 cos ⁡ x ⋅ 2 sin ⁡ ( x 2 + π 12 ) cos ⁡ ( x 2 + π 12 ) ⋅ ( − 2 sin ⁡ ( x 2 − π 12 ) cos ⁡ ( x 2 − π 12 ) ) = 4 cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ ( 2 ( x 2 + π 12 ) ) ⋅ ( − sin ⁡ ( 2 ( x 2 − π 12 ) ) ) = 4 cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ ( x + π 6 ) ⋅ ( − sin ⁡ ( x − π 6 ) ) = 4 cos ⁡ x sin ⁡ ( π 6 + x ) sin ⁡ ( π 6 − x ) = 4 cos ⁡ x cos ⁡ ( π 2 − ( π 6 + x ) ) cos ⁡ ( π 2 − ( π 6 − x ) ) = 4 cos ⁡ x cos ⁡ ( π 3 − x ) cos ⁡ ( π 3 + x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(3x)&=4\cos ^{3}x-3\cos x\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-{\frac {3}{4}})\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-({\frac {\sqrt {3}}{2}})^{2})\\&=4\cos x(\cos ^{2}x-\cos ^{2}{\frac {\pi }{6}})\\&=4\cos x(\cos x+\cos {\frac {\pi }{6}})(\cos x-\cos {\frac {\pi }{6}})\\&=4\cos x\cdot 2\cos({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})\cdot (-2\sin({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\sin({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}}))\\&=4\cos x\cdot 2\sin({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}})\cdot (-2\sin({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})\cos({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}}))\\&=4\cos x\cdot \sin(2({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{12}}))\cdot (-\sin(2({\frac {x}{2}}-{\frac {\pi }{12}})))\\&=4\cos x\cdot \sin(x+{\frac {\pi }{6}})\cdot (-\sin(x-{\frac {\pi }{6}}))\\&=4\cos x\sin({\frac {\pi }{6}}+x)\sin({\frac {\pi }{6}}-x)\\&=4\cos x\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{6}}+x))\cos({\frac {\pi }{2}}-({\frac {\pi }{6}}-x))\\&=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)\end{aligned}}}

tan ⁡ 3 x = sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x = 4 sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ ( π 3 + x ) ⋅ sin ⁡ ( π 3 − x ) 4 cos ⁡ x cos ⁡ ( π 3 − x ) cos ⁡ ( π 3 + x ) = sin ⁡ x cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ ( π 3 + x ) cos ⁡ ( π 3 + x ) ⋅ sin ⁡ ( π 3 − x ) cos ⁡ ( π 3 − x ) = tan ⁡ x tan ⁡ ( π 3 + x ) tan ⁡ ( π 3 − x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan 3x&={\frac {\sin 3x}{\cos 3x}}\\&={\frac {4\sin x\cdot \sin({\frac {\pi }{3}}+x)\cdot \sin({\frac {\pi }{3}}-x)}{4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}}\\&={\frac {\sin x}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin({\frac {\pi }{3}}+x)}{\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}}\cdot {\frac {\sin({\frac {\pi }{3}}-x)}{\cos({\frac {\pi }{3}}-x)}}\\&=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}+x)\tan({\frac {\pi }{3}}-x)\end{aligned}}}

三倍角的常見公式列舉如下：

上述正弦和餘弦的三倍角公式的前半部分都比較簡單，考試時萬一需要用到，完全可以現場推導；後半部分形式統一，比較好記，但是推導步驟較多。

相關例題：在三角形ABC中，角A、B、C的對邊長度分別是a、b、c。已知 a = 32 , b = 2 , A = 2 B {\displaystyle a=32,b={\sqrt {2}},A=2B} ，求c的值。

解答：由正弦定理可知： a sin ⁡ A = b sin ⁡ B ⇒ 32 sin ⁡ 2 B = 16 2 sin ⁡ B ⇒ 32 2 sin ⁡ B cos ⁡ B = 16 2 sin ⁡ B ⇒ cos ⁡ B = 2 2 {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {32}{\sin 2B}}={\frac {16{\sqrt {2}}}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {32}{2\sin B\cos B}}={\frac {16{\sqrt {2}}}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad \cos B={\frac {\sqrt {2}}{2}}} 因為 sin ⁡ B > 0 {\displaystyle \sin B>0} ，所以 sin ⁡ B = 1 − cos 2 ⁡ B = 2 2 {\displaystyle \sin B={\sqrt {1-\cos ^{2}B}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}} 。 再用一次正弦定理可得： c sin ⁡ C = b sin ⁡ B ⇒ c = b sin ⁡ C sin ⁡ B = 32 × sin ⁡ ( A + B ) 2 = 16 sin ⁡ ( 3 B ) {\displaystyle {\frac {c}{\sin C}}={\frac {b}{\sin B}}\quad \Rightarrow \quad c={\frac {b\sin C}{\sin B}}={\frac {32\times \sin(A+B)}{2}}=16\sin(3B)} 使用正弦函數的三倍角公式可得： c = 16 sin ⁡ ( 3 B ) = 16 ( 3 sin ⁡ B − 4 sin 3 ⁡ B ) = 16 ( 3 × 2 2 − 4 ( 2 2 ) 3 ) = 8 2 {\displaystyle c=16\sin(3B)=16(3\sin B-4\sin ^{3}B)=16(3\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}-4({\frac {\sqrt {2}}{2}})^{3})=8{\sqrt {2}}}

答案： 8 2 {\displaystyle 8{\sqrt {2}}} 。

n倍角的正弦、餘弦公式是比較繁瑣的求和式，需要使用二項式係數表示，求和時還需要區分奇數情形與偶數情形：

上式中的求和指標k應該取遍滿足式子中奇偶條件的所有不超過n的非負整數。

巴夫努提·切比雪夫通過遞歸求解的思路，也得到了同樣的結果。

例如，他將 cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} 寫成 cos ⁡ ( ( n − 1 ) x ) {\displaystyle \cos((n-1)x)} 、 cos ⁡ ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos((n-2)x)} 和 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 的如下遞推式：

類似地，還有：

知識背景： cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle \cos(n\theta )} 和 cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta } 滿足的函數關係 T n ( x ) = f n ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle T_{n}(x)=f_{n}(\cos \theta )} 是一種以n為參數的知名多項式，叫做第一類切比雪夫多項式。